H28.1 B-2
次の記述は、アンテナの指向性利得とビーム立体角との関係を求める過程について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句を下の番号から選べ。ただし、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。
- 図に示すように、極座標の原点\(\,O\,\)に置かれた開口面アンテナから放射される電波の単位立体角当たりの電力束密度を\(\,P(\theta,\phi)_{max}\,[\mathrm{W/sr}]\,\)及び同じ位置に置かれた等方性アンテナから放射される電波の単位立体角当たりの電力束密度を\(\,P_a(\theta,\phi)_{max}\,[\mathrm{W/sr}]\,\)とすると、指向性利得\(\,G\,(真数)\,\)は、次式で表される。 \[ G=\boxed{\quad\text{ア}\quad}\cdots\text{①} \]
- \(P_a\,\)は、\(\boxed{\quad\text{イ}\quad}\,\)電力\(\,P_t\,[\mathrm{W}]\,\)をアンテナの周りの全立体角で割ったものに等しいから、次式のように表される。 \[ P_a=\cfrac{P_t}{\boxed{\quad\text{ウ}\quad}}\cdots\text{②} \]
- 式②を式①へ代入し、ビームの立体角を\(\,B\,[\mathrm{sr}]\,\)とすると、\(G\,\)は、次式で表される。 \[ G=\cfrac{\boxed{\quad\text{ウ}\quad}}B\cdots\text{③} \]
- 式②において、\(P_t\,\)は、\(P(\theta,\phi)\,\)をアンテナの周り全体について積分したものに等しいから、次式で表される。 \[ P_t=\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^{\pi}P(\theta,\phi)d\theta\cdots\text{④} \] また、式①、②、③及び④から、\(B\,\)は、次式で表される。 \[ B=\cfrac{\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^{\pi}P(\theta,\phi)d\theta}{P(\theta,\phi)_{max}} \] \(B\,\)の値が\(\,\boxed{\quad\text{エ}\quad}\,\)ほど、狭い立体角内に全放射電力が集中していることなにり、指向性利得が大きいことになる。
- 水平及び垂直面内のビーム幅(3dBビーム幅)をそれぞれ\(\,\theta_H\,[\mathrm{rad}]\,\)及び\(\,\theta_V\,[\mathrm{rad}]\,\)とすれば、ビーム幅が狭いとき\(\,B\,\)は\(\,\theta_H\,\)と\(\,\theta_V\,\)の積で近似できるから、\(\theta_H\,\)及び\(\,\theta_V\,\)を「度」で表したものを、それぞれ\(\,\theta_{Hd}\,\)及び\(\,\theta_{Vd}\,\)とし、これらを用い、式③を整理すると、次式が得られる。 \[ G\fallingdotseq\boxed{\quad\text{オ}\quad} \]
\[
\begin{array}{r c}
1&\cfrac{P(\theta,\phi)_{max}}{2P_a} \\
2&入射 \\
3&4\pi \\
4&大きい \\
5&\cfrac{20,626}{\theta_{Hd}\theta_{Vd}} \\
6&\cfrac{P(\theta,\phi)_{max}}{P_a} \\
7&放射 \\
8&2\pi \\
9&小さい \\
10&\cfrac{41,253}{\theta_{Hd}\theta_{Vd}}
\end{array}
\]
解法
水平及び垂直ビーム幅が\(\theta_H\,\)及び\(\,\theta_V\,[\mathrm{rad}]\,\)のとき、指向性利得\(\,G\,\)は
\[ G=\cfrac{4\pi}{\theta_H\theta_V} \]「度」に単位換算すると
\[ \begin{eqnarray} G&=&\cfrac{4\pi}{\theta_{Hd}\times\frac{\pi}{180}\times\theta_{Vd}\times\frac{\pi}{180}} \\ &=&\cfrac{4\pi\times180^2}{\theta_{Hd}\theta_{Vd}\times\pi^2} \\ &=&\cfrac{4\times180^2}{\theta_{Hd}\theta_{Vd}\pi} \\ &=&\cfrac{41,253}{\theta_{Hd}\theta_{Vd}} \end{eqnarray} \]ということらしいのですが、\([\mathrm{rad}]\times\frac{\pi}{180}=[\mathrm{^{\circ}}]\,\)だと思うので、
\[ \begin{eqnarray} G&=&\cfrac{4\pi}{\theta_H\theta_V} \\ &=&\cfrac{4\pi}{\theta_H\times\frac{\pi}{180}\times\theta_V\times\frac{\pi}{180}} \\ &=&\cfrac{41,253}{\theta_H\theta_V} \end{eqnarray} \]が正しいと思うのであります。