R4.7(1) A-1
次の記述は、自由空間内の平面波を波動方程式から導出する過程について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、自由空間の誘電率を\(\,\varepsilon_0\,[\mathrm{F/m}]\,\)、透磁率を\(\,\mu_0\,[\mathrm{H/m}]\,\)及び時間を\(\,t\,[\mathrm{s}]\,\)として、電界\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)が角周波数\(\,\omega\,[\mathrm{rad/s}]\,\)で正弦的に変化しているものとする。
- \(E\,\)については、以下の波動方程式が成立する。ここで、\(k^2=\omega^2\mu_0\varepsilon_0\,\)とする。 \[ \nabla^2E+k^2E=0\cdots\text{①} \]
- 直角座標系\(\,(x,y,z)\,\)で、\(E\,\)が\(\,y\,\)だけの関数とすると、式①より、以下の式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{A}\quad}+k^2E_z=0\cdots\text{②} \]
- 式②の解は、\(M\,\)、\(N\,\)を境界条件によって定まる定数とすると、次式で表される。 \[ E_z=Me^{-jky}+Ne^{+jky}\cdots\text{③} \]
- 以下、式③の右辺の第1項で表される\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)のみを考える。\(ky\,\)が\(\,2\pi\,\)の値をとるごとに同一の変化が繰り返されるから、\(ky=2\pi\,\)を満たす\(\,y\,\)が波長\(\,\lambda\,\)となる。すなわち、周波数を\(\,f\,[\mathrm{Hz}]\,\)とすると、\(\lambda=\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)となる。
- 式③の右辺の第1項に時間項\(\,e^{j\omega t}\,\)を掛けると、\(\,E_z\,\)は、次式で表される。 \[ E_z=Me^{j(\omega t-ky)}\cdots\text{④} \]
- 式④より、\(E_z\,\)の等位相面を表す式は、定数を\(\,K\,\)とおくと、次式で与えられる。 \[ \omega t-ky=K\cdots\text{⑤} \]
- 式⑤の両辺を時間\(\,t\,\)について微分すると、等位相面の進む速度、すなわち、電波の速度\(\,v\,\)は以下のように表される。 \[ v=\cfrac{dy}{dt}=\cfrac{\omega}k=\boxed{\quad\text{D}\quad}\,[\mathrm{m/s}] \]
\[
\begin{array}{r c c c c}
&\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D} \\
1&\cfrac{d^2E_z}{dy^2}&前進波&\cfrac 1{f\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}&\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} \\
2&\cfrac{d^2E_z}{dy^2}&後退波&\cfrac{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}f&\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} \\
3&\cfrac{d^2E_z}{dy^2}&前進波&\cfrac 1{f\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}&\cfrac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \\
4&\cfrac{dE_z}{dy}&前進波&\cfrac 1{f\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}&\cfrac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \\
5&\cfrac{dE_z}{dy}&後退波&\cfrac{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}f&\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}
\end{array}
\]
解法
式⑤の両辺を時間\(\,t\,\)について微分すると
\[ \cfrac d{dt}\omega t-\cfrac d{dt}ky=\cfrac d{dt}K \]\(K\,\)は定数なので
\[ \cfrac d{dt}K=0 \]よって
\[ \begin{eqnarray} \cfrac d{dt}\omega t-\cfrac d{dt}ky&=&0 \\ \omega-k\cfrac{dy}{dt}&=&0 \\ \cfrac{dy}{dt}&=&\cfrac{\omega}k \end{eqnarray} \]\(k^2=\omega^2\mu_0\varepsilon_0\,\)と与えられているので
\[ \begin{eqnarray} k&=&\sqrt{\omega^2\mu_0\varepsilon_0} \\ &=&\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} \\ \cfrac{dy}{dt}&=&\cfrac{\omega}k \\ &=&\cfrac{\omega}{\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \\ &=&\cfrac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \end{eqnarray} \]答え…3
R3.1(2) A-1
次の記述は、自由空間内の平面波を波動方程式から導出する過程について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、自由空間の誘電率を\(\,\varepsilon_0\,[\mathrm{F/m}]\,\)、透磁率を\(\,\mu_0\,[\mathrm{H/m}]\,\)及び時間を\(\,t\,[\mathrm{s}]\,\)として、電界\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)が角周波数\(\,\omega\,[\mathrm{rad/s}]\,\)で正弦的に変化しているものとする。
- \(E\,\)については、以下の波動方程式が成立する。ここで、\(k^2=\omega^2\mu_0\varepsilon_0\,\)とする。 \[ \nabla^2E+k^2E=0\cdots\text{①} \]
- 直角座標系\(\,(x,y,z)\,\)で、\(E\,\)が\(\,y\,\)だけの関数とすると、式①より、以下の式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{A}\quad}+k^2E_z=0\cdots\text{②} \]
- 式②の解は、\(M\,\)、\(N\,\)を境界条件によって定まる定数とすると、次式で表される。 \[ E_z=Me^{-jky}+Ne^{+jky}\cdots\text{③} \]
- 以下、式③の右辺の第1項で表される\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)のみを考える。\(ky\,\)が\(\,2\pi\,\)の値をとるごとに同一の変化が繰り返されるから、\(ky=2\pi\,\)を満たす\(\,y\,\)が波長\(\,\lambda\,\)となる。すなわち、周波数を\(\,f\,[\mathrm{Hz}]\,\)とすると、\(\lambda=\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)となる。
- 式③の右辺の第1項に時間項\(\,e^{j\omega t}\,\)を掛けると、\(\,E_z\,\)は、次式で表される。 \[ E_z=Me^{j(\omega t-ky)}\cdots\text{④} \]
- 式④より、\(E_z\,\)の等位相面を表す式は、定数を\(\,K\,\)とおくと、次式で与えられる。 \[ \omega t-ky=K\cdots\text{⑤} \]
- 式⑤の両辺を時間\(\,t\,\)について微分すると、等位相面の進む速度、すなわち、電波の速度\(\,v\,\)は以下のように表される。 \[ v=\cfrac{dy}{dt}=\cfrac{\omega}k=\boxed{\quad\text{D}\quad}\,[\mathrm{m/s}] \]
\[
\begin{array}{r c c c c}
&\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D} \\
1&\cfrac{d^2E_z}{dy^2}&前進波&\cfrac 1{f\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}&\cfrac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \\
2&\cfrac{d^2E_z}{dy^2}&後退波&\cfrac{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}f&\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} \\
3&\cfrac{d^2E_z}{dy^2}&前進波&\cfrac 1{f\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}&\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} \\
4&\cfrac{dE_z}{dy}&前進波&\cfrac 1{f\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}&\cfrac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \\
5&\cfrac{dE_z}{dy}&後退波&\cfrac{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}f&\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}
\end{array}
\]
解法
式⑤の両辺を時間\(\,t\,\)について微分すると
\[ \cfrac d{dt}\omega t-\cfrac d{dt}ky=\cfrac d{dt}K \]\(K\,\)は定数なので
\[ \cfrac d{dt}K=0 \]よって
\[ \begin{eqnarray} \cfrac d{dt}\omega t-\cfrac d{dt}ky&=&0 \\ \omega-k\cfrac{dy}{dt}&=&0 \\ \cfrac{dy}{dt}&=&\cfrac{\omega}k \end{eqnarray} \]\(k^2=\omega^2\mu_0\varepsilon_0\,\)と与えられているので
\[ \begin{eqnarray} k&=&\sqrt{\omega^2\mu_0\varepsilon_0} \\ &=&\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} \\ \cfrac{dy}{dt}&=&\cfrac{\omega}k \\ &=&\cfrac{\omega}{\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \\ &=&\cfrac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \end{eqnarray} \]答え…1
R2.1 A-1
次の記述は、自由空間内の平面波を波動方程式から導出する過程について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、自由空間の誘電率を\(\,\varepsilon_0\,[\mathrm{F/m}]\,\)、透磁率を\(\,\mu_0\,[\mathrm{H/m}]\,\)及び時間を\(\,t\,[\mathrm{s}]\,\)として、電界\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)が角周波数\(\,\omega\,[\mathrm{rad/s}]\,\)で正弦的に変化しているものとする。
- \(E\,\)については、以下の波動方程式が成立する。ここで、\(k^2=\omega^2\mu_0\varepsilon_0\,\)とする。 \[ \nabla^2E+k^2E=0\cdots\text{①} \]
- 直角座標系\(\,(x,y,z)\,\)で、\(E\,\)が\(\,y\,\)だけの関数とすると、式①より、以下の式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{A}\quad}+k^2E_z=0\cdots\text{②} \]
- 式②の解は、\(M\,\)、\(N\,\)を境界条件によって定まる定数とすると、次式で表される。 \[ E_z=Me^{-jky}+Ne^{+jky}\cdots\text{③} \]
- 以下、式③の右辺の第1項で表される\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)のみを考える。\(ky\,\)が\(\,2\pi\,\)の値をとるごとに同一の変化が繰り返されるから、\(ky=2\pi\,\)を満たす\(\,y\,\)が波長\(\,\lambda\,\)となる。すなわち、周波数を\(\,f\,[\mathrm{Hz}]\,\)とすると、\(\lambda=\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)となる。
- 式③の右辺の第1項に時間項\(\,e^{j\omega t}\,\)を掛けると、\(\,E_z\,\)は、次式で表される。 \[ E_z=Me^{j(\omega t-ky)}\cdots\text{④} \]
- 式④より、\(E_z\,\)の等位相面を表す式は、定数を\(\,K\,\)とおくと、次式で与えられる。 \[ \omega t-ky=K\cdots\text{⑤} \]
- 式⑤の両辺を時間\(\,t\,\)について微分すると、等位相面の進む速度、すなわち、電波の速度\(\,v\,\)は以下のように表される。 \[ v=\cfrac{dy}{dt}=\boxed{\quad\text{D}\quad}=\cfrac 1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\,[\mathrm{m/s}] \]
\[
\begin{array}{r c c c c}
&\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D} \\
1&\cfrac{dE_z}{dy}&前進波&\cfrac 1{f\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}&\cfrac{\omega}k \\
2&\cfrac{dE_z}{dy}&後退波&\cfrac{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}f&\cfrac k{\omega} \\
3&\cfrac{d^2E_z}{dy^2}&前進波&\cfrac 1{f\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}&\cfrac{\omega}k \\
4&\cfrac{d^2E_z}{dy^2}&後退波&\cfrac{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}f&\cfrac k{\omega} \\
5&\cfrac{d^2E_z}{dy^2}&前進波&\cfrac 1{f\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}&\cfrac k{\omega}
\end{array}
\]
解法
式⑤の両辺を時間\(\,t\,\)について微分すると
\[ \cfrac d{dt}\omega t-\cfrac d{dt}ky=\cfrac d{dt}K \]\(K\,\)は定数なので
\[ \cfrac d{dt}K=0 \]よって
\[ \begin{eqnarray} \cfrac d{dt}\omega t-\cfrac d{dt}ky&=&0 \\ \omega-k\cfrac{dy}{dt}&=&0 \\ \cfrac{dy}{dt}&=&\cfrac{\omega}k \end{eqnarray} \]答え…3
H30.1 A-1
次の記述は、自由空間内の平面波を波動方程式から導出する過程について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、自由空間の誘電率を\(\,\varepsilon_0\,[\mathrm{F/m}]\,\)、透磁率を\(\,\mu_0\,[\mathrm{H/m}]\,\)として、電界\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)が角周波数\(\,\omega\,[\mathrm{rad/s}]\,\)で正弦的に変化しているものとする。
- \(E\,\)については、以下の波動方程式が成立する。ここで、\(k^2=\omega^2\mu_0\varepsilon_0\,\)とする。 \[ \nabla^2E+k^2E=0\cdots\text{①} \]
- 直角座標系\(\,(x,y,z)\,\)で、\(E\,\)が\(\,y\,\)だけの関数とすると、式①より、以下の式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{A}\quad}+k^2E_z=0\cdots\text{②} \]
- 式②の解は、\(M\,\)、\(N\,\)を境界条件によって定まる定数とすると、次式で表される。 \[ E_z=Me^{-jky}+Ne^{+jky}\cdots\text{③} \]
- 以下、式③の右辺の第1項で表される\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)のみを考える。\(ky\,\)が\(\,2\pi\,\)の値をとるごとに同一の変化が繰り返されるから、\(ky=2\pi\,\)を満たす\(\,y\,\)が波長\(\,\lambda\,\)となる。すなわち、周波数を\(\,f\,[\mathrm{Hz}]\,\)とすると、\(\lambda=\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)となる。
- 式③の右辺の第1項に時間項\(\,e^{j\omega t}\,\)を掛けると、\(\,E_z\,\)は、次式で表される。 \[ E_z=Me^{j(\omega t-ky)}\cdots\text{④} \]
- 式④より、\(E_z\,\)の等位相面を表す式は、定数を\(\,K\,\)とおくと、次式で与えられる。 \[ \omega t-ky=K\cdots\text{⑤} \]
- 式⑤の両辺を時間\(\,t\,\)について微分すると、等位相面の進む速度、すなわち、電波の速度\(\,c\,\)は以下のように表される。 \[ c=\cfrac{dy}{dt}=\boxed{\quad\text{D}\quad}=\cfrac 1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\,[\mathrm{m/s}] \]
\[
\begin{array}{r c c c c}
&\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D} \\
1&\cfrac{dE_z}{dy}&前進波&\cfrac 1{f\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}&\cfrac{\omega}k \\
2&\cfrac{dE_z}{dy}&後退波&\cfrac{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}f&\cfrac k{\omega} \\
3&\cfrac{d^2E_z}{dy^2}&後退波&\cfrac{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}f&\cfrac k{\omega} \\
4&\cfrac{d^2E_z}{dy^2}&前進波&\cfrac 1{f\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}&\cfrac{\omega}k \\
5&\cfrac{d^2E_z}{dy^2}&前進波&\cfrac 1{f\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}&\cfrac k{\omega}
\end{array}
\]
解法
式⑤の両辺を時間\(\,t\,\)について微分すると
\[ \cfrac d{dt}\omega t-\cfrac d{dt}ky=\cfrac d{dt}K \]\(K\,\)は定数なので
\[ \cfrac d{dt}K=0 \]よって
\[ \begin{eqnarray} \cfrac d{dt}\omega t-\cfrac d{dt}ky&=&0 \\ \omega-k\cfrac{dy}{dt}&=&0 \\ \cfrac{dy}{dt}&=&\cfrac{\omega}k \end{eqnarray} \]答え…4
H28.1 A-1
次の記述は、自由空間内の平面波を波動方程式から導出する過程について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、自由空間の誘電率を\(\,\varepsilon_0\,[\mathrm{F/m}]\,\)、透磁率を\(\,\mu_0\,[\mathrm{H/m}]\,\)として、電界\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)が角周波数\(\,\omega\,[\mathrm{rad/s}]\,\)で正弦的に変化しているものとする。
- \(E\,\)については、以下の波動方程式が成立する。ここで、\(k^2=\omega^2\mu_0\varepsilon_0\,\)とする。 \[ \nabla^2E+k^2E=0\cdots\text{①} \]
- 直角座標系\(\,(x,y,z)\,\)で、\(E\,\)が\(\,y\,\)だけの関数とすると、式①より、以下の式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{A}\quad}+k^2E_z=0\cdots\text{②} \]
- 式②の解は、\(M\,\)、\(N\,\)を境界条件によって定まる定数とすると、次式で表される。 \[ E_z=Me^{-jky}+Ne^{+jky}\cdots\text{③} \]
- 以下、式③の右辺の第1項で表される\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)のみを考える。\(ky\,\)が\(\,2\pi\,\)の値をとるごとに同一の変化が繰り返されるから、\(ky=2\pi\,\)を満たす\(\,y\,\)が波長\(\,\lambda\,\)となる。すなわち、周波数を\(\,f\,[\mathrm{Hz}]\,\)とすると、\(\lambda=\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)となる。
- 式③の右辺の第1項に時間項\(\,e^{j\omega t}\,\)を掛けると、\(\,E_z\,\)は、次式で表される。 \[ E_z=Me^{j(\omega t-ky)}=Me^{j\omega (t-\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}y)}\cdots\text{④} \]
- 式④より、\(E_z\,\)の等位相面を表す式は、定数を\(\,K\,\)とおくと、次式で与えられる。 \[ \omega (t-\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}y)=K\cdots\text{⑤} \]
- 式⑤の両辺を時間\(\,t\,\)について微分すると、等位相面の進む速度、すなわち、電波の速度\(\,c\,\)は以下のように表される。 \[ c=\cfrac{dy}{dt}=\boxed{\quad\text{D}\quad}\,[\mathrm{m/s}] \]
\[
\begin{array}{r c c c c}
&\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D} \\
1&\cfrac{d^2E_z}{dy^2}&前進波&\cfrac {\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}f&\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} \\
2&\cfrac{d^2E_z}{dy^2}&前進波&\cfrac 1{f\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}&\cfrac 1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \\
3&\cfrac{d^2E_z}{dy^2}&後退波&\cfrac 1{f\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}&\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} \\
4&\cfrac{dE_z}{dy}&前進波&\cfrac 1{f\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}&\cfrac 1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \\
5&\cfrac{dE_z}{dy}&後退波&\cfrac{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}f&\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}
\end{array}
\]
解法
式⑤の両辺を時間\(\,t\,\)について微分すると
\[ \cfrac d{dt}\omega t-\cfrac d{dt}\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}y=\cfrac d{dt}K \]\(K\,\)は定数なので
\[ \cfrac d{dt}K=0 \]よって
\[ \begin{eqnarray} \cfrac d{dt}\omega t-\cfrac d{dt}\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}y&=&0 \\ \omega-\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\cfrac{dy}{dt}&=&0 \\ \cfrac{dy}{dt}&=&\cfrac 1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \end{eqnarray} \]