R4.7(2) A-1
次の記述は、自由空間に置かれた微小ダイポールアンテナを正弦波電流で励振した場合に発生する電界について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。
- 微小ダイポールアンテナの長さを\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)、微小ダイポールアンテナを流れる電流を\(\,I\,[\mathrm{A}]\,\)、角周波数を\(\,\omega\,[\mathrm{rad/s}]\,\)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)、微小ダイポールの電流が流れる方向と微小ダイポールの中心から距離\(\,r\,[\mathrm{m}]\,\)の任意の点\(\,P\,\)を見た方向とがなす角度を\(\,\theta\,[\mathrm{rad}]\,\)とすると、放射電界、誘導電解及び静電界の3つの成分からなる点\(\,P\,\)における微小ダイポールによる電界強度\(\,E_{\theta}\,\)は、次式で表される。 \[ E_{\theta}=\cfrac{j60\pi Il\sin\theta}{\lambda}\left(\cfrac1r-\cfrac{j\lambda}{2\pi r^2}-\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^3}\right)e^{j(\omega t-2\pi r/\lambda)}\,[\mathrm{V/m}]\cdots\text{①} \]
- \(E_{\theta}\,\)の放射電界の大きさを\(\,|E_1|\,[\mathrm{V/m}]\,\)、\(E_{\theta}\,\)の誘導電界の大きさを\(\,|E_2|\,[\mathrm{V/m}]\,\)、\(E_{\theta}\,\)の静電界の大きさを\(\,|E_3|\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすると、\(\,|E_1|\,\)、\(\,|E_2|\,\)、\(\,|E_3|\,\)は、式①より微小ダイポールの中心からの距離\(\,r\,\)が\(\,\boxed{\quad\text{A}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)のとき等しくなる。
- 微小ダイポールの中心からの距離\(\,r=5\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)のとき、\(|E_1|\,\)、\(|E_2|\,\)、\(|E_3|\,\)の比は、式①より\(\,|E_1|:|E_2|:|E_3|\fallingdotseq\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)となる。
\[
\begin{array}{r c c}
&\text{A}&\text{B} \\
1&\lambda/\pi&0.004:0.063:1 \\
2&\lambda/\pi&1:0.032:0.001 \\
3&\lambda/\pi&1:0.159:0.025 \\
4&\lambda/(2\pi)&0.004:0.063:1 \\
5&\lambda/(2\pi)&1:0.032:0.001
\end{array}
\]
解法
式①の()内の各項が、それぞれ\(|E_1|\,\)、\(|E_2|\,\)、\(|E_3|\,\)を表しており、(2)はこれらが等しくなる\(\,r\,\)を求めている。よって
\[ \cfrac1r=\cfrac{j\lambda}{2\pi r^2}=\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^3} \]各辺に\(\,r\,\)を掛けると
\[ 1=\cfrac{j\lambda}{2\pi r}=\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^2} \]これより
\[ \begin{eqnarray} 1&=&\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^2} \\ r^2&=&\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2} \\ r&=&\sqrt{\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2}} \\ &=&\cfrac{\lambda}{2\pi} \\ \therefore \boxed{\quad\text{A}\quad}&=&\lambda/(2\pi) \end{eqnarray} \]\(r=5\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)のとき、\(|E_1|\,\)、\(|E_2|\,\)、\(|E_3|\,\)の比は
\[ \begin{eqnarray} |E1|:|E2|:|E3|&=&\left|\cfrac1r\right|:\left|\cfrac{j\lambda}{2\pi r^2}\right|:\left|\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^3}\right| \\ &=&\left|\cfrac1{5\lambda}\right|:\left|\cfrac{j\lambda}{2\pi(5\lambda)^2}\right|:\left|\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2(5\lambda)^3}\right| \\ &=&\left|\cfrac1{\lambda}\times0.2\right|:\left|\cfrac{j\lambda}{2\pi \lambda^2}\times0.2^2\right|:\left|\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2 \lambda^3}\times0.2^3\right| \\ &=&\left|0.2\right|:\left|\cfrac j{2\pi}\times0.2^2\right|:\left|\cfrac 1{4\pi^2}\times0.2^3\right| \\ &=&|1|:\left|\cfrac j{2\pi}\times0.2\right|:\left|\cfrac 1{4\pi^2}\times0.2^2\right| \\ &=&|1|:\left|\cfrac j\pi\times0.1\right|:\left|\cfrac 1{\pi^2}\times0.01\right| \\ &=&1:0.032:0.001 \\ \therefore \boxed{\quad\text{B}\quad}&=&1:0.032:0.001 \end{eqnarray} \]答え…5
R3.7(1) A-5
次の記述は、自由空間に置かれた微小ダイポールアンテナを正弦波電流で励振した場合に発生する電界について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。
- 微小ダイポールアンテナの長さを\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)、微小ダイポールアンテナを流れる電流を\(\,I\,[\mathrm{A}]\,\)、角周波数を\(\,\omega\,[\mathrm{rad/s}]\,\)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)、微小ダイポールの電流が流れる方向と微小ダイポールの中心から距離\(\,r\,[\mathrm{m}]\,\)の任意の点\(\,P\,\)を見た方向とがなす角度を\(\,\theta\,[\mathrm{rad}]\,\)とすると、放射電界、誘導電解及び静電界の3つの成分からなる点\(\,P\,\)における微小ダイポールによる電界強度\(\,E_{\theta}\,\)は、次式で表される。 \[ E_{\theta}=\cfrac{j60\pi Il\sin\theta}{\lambda}\left(\cfrac1r-\cfrac{j\lambda}{2\pi r^2}-\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^3}\right)e^{j(\omega t-2\pi r/\lambda)}\,[\mathrm{V/m}]\cdots\text{①} \]
- \(E_{\theta}\,\)の放射電界の大きさを\(\,|E_1|\,[\mathrm{V/m}]\,\)、\(E_{\theta}\,\)の誘導電界の大きさを\(\,|E_2|\,[\mathrm{V/m}]\,\)、\(E_{\theta}\,\)の静電界の大きさを\(\,|E_3|\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすると、\(\,|E_1|\,\)、\(\,|E_2|\,\)、\(\,|E_3|\,\)は、式①より微小ダイポールの中心からの距離\(\,r\,\)が\(\,\boxed{\quad\text{A}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)のとき等しくなる。
- 微小ダイポールの中心からの距離\(\,r=0.01\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)のとき、\(|E_1|\,\)、\(|E_2|\,\)、\(|E_3|\,\)の比は、式①より\(\,|E_1|:|E_2|:|E_3|\fallingdotseq\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)となる。
\[
\begin{array}{r c c}
&\text{A}&\text{B} \\
1&\lambda/\pi&0.0039:0.063:1 \\
2&\lambda/\pi&0.019:0.123:1 \\
3&\lambda/(2\pi)&1:0.159:0.025 \\
4&\lambda/(2\pi)&0.0039:0.063:1 \\
5&\lambda/(2\pi)&0.019:0.123:1
\end{array}
\]
解法
式①の()内の各項が、それぞれ\(|E_1|\,\)、\(|E_2|\,\)、\(|E_3|\,\)を表しており、(2)はこれらが等しくなる\(\,r\,\)を求めている。よって
\[ \cfrac1r=\cfrac{j\lambda}{2\pi r^2}=\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^3} \]各辺に\(\,r\,\)を掛けると
\[ 1=\cfrac{j\lambda}{2\pi r}=\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^2} \]これより
\[ \begin{eqnarray} 1&=&\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^2} \\ r^2&=&\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2} \\ r&=&\sqrt{\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2}} \\ &=&\cfrac{\lambda}{2\pi} \\ \therefore \boxed{\quad\text{A}\quad}&=&\lambda/(2\pi) \end{eqnarray} \]\(r=0.01\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)のとき、\(|E_1|\,\)、\(|E_2|\,\)、\(|E_3|\,\)の比は
\[ \begin{eqnarray} |E1|:|E2|:|E3|&=&\left|\cfrac1r\right|:\left|\cfrac{j\lambda}{2\pi r^2}\right|:\left|\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^3}\right| \\ &=&\left|\cfrac1{0.01\lambda}\right|:\left|\cfrac{j\lambda}{2\pi(0.01\lambda)^2}\right|:\left|\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2(0.01\lambda)^3}\right| \\ &=&\left|\cfrac1{\lambda}\times10^2\right|:\left|\cfrac{j\lambda}{2\pi \lambda^2}\times10^4\right|:\left|\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2 \lambda^3}\times10^6\right| \\ &=&\left|10^2\right|:\left|\cfrac j{2\pi}\times10^4\right|:\left|\cfrac 1{4\pi^2}\times10^6\right| \\ &=&|10^{-4}|:\left|\cfrac j{2\pi}\times10^{-2}\right|:\left|\cfrac 1{4\pi^2}\right| \\ &=&|4\pi^2\times10^{-4}|:|j{2\pi}\times10^{-2}|:|1| \\ &=&|39.4\times10^{-4}|:|j6.28\times10^{-2}|:|1| \\ &=&0.00394:0.0628:1 \\ \therefore \boxed{\quad\text{B}\quad}&=&0.0039:0.063:1 \end{eqnarray} \]答え…4
R2.11(1) A-2
次の記述は、自由空間に置かれた微小ダイポールアンテナを正弦波電流で励振した場合に発生する電界について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。
- 微小ダイポールアンテナの長さを\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)、微小ダイポールアンテナを流れる電流を\(\,I\,[\mathrm{A}]\,\)、角周波数を\(\,\omega\,[\mathrm{rad/s}]\,\)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)、微小ダイポールの電流が流れる方向と微小ダイポールの中心から距離\(\,r\,[\mathrm{m}]\,\)の任意の点\(\,P\,\)を見た方向とがなす角度を\(\,\theta\,[\mathrm{rad}]\,\)とすると、放射電界、誘導電解及び静電界の3つの成分からなる点\(\,P\,\)における微小ダイポールによる電界強度\(\,E_{\theta}\,\)は、次式で表される。 \[ E_{\theta}=\cfrac{j60\pi Il\sin\theta}{\lambda}\left(\cfrac1r-\cfrac{j\lambda}{2\pi r^2}-\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^3}\right)e^{j(\omega t-2\pi r/\lambda)}\,[\mathrm{V/m}]\cdots\text{①} \]
- \(E_{\theta}\,\)の放射電界の大きさを\(\,|E_1|\,[\mathrm{V/m}]\,\)、\(E_{\theta}\,\)の誘導電界の大きさを\(\,|E_2|\,[\mathrm{V/m}]\,\)、\(E_{\theta}\,\)の静電界の大きさを\(\,|E_3|\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすると、\(\,|E_1|\,\)、\(\,|E_2|\,\)、\(\,|E_3|\,\)は、式①より微小ダイポールの中心からの距離\(\,r\,\)が\(\,\boxed{\quad\text{A}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)のとき等しくなる。
- 微小ダイポールの中心からの距離\(\,r=\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)のとき、\(|E_1|\,\)、\(|E_2|\,\)、\(|E_3|\,\)の比は、式①より\(\,|E_1|:|E_2|:|E_3|\fallingdotseq\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)となる。
\[
\begin{array}{r c c}
&\text{A}&\text{B} \\
1&\lambda/\pi&0.0039:0.063:1 \\
2&\lambda/\pi&1:0.032:0.001 \\
3&\lambda/(2\pi)&1:0.159:0.025 \\
4&\lambda/(2\pi)&0.0039:0.063:1 \\
5&\lambda/(2\pi)&1:0.032:0.001
\end{array}
\]
解法
式①の()内の各項が、それぞれ\(|E_1|\,\)、\(|E_2|\,\)、\(|E_3|\,\)を表しており、(2)はこれらが等しくなる\(\,r\,\)を求めている。よって
\[ \cfrac1r=\cfrac{j\lambda}{2\pi r^2}=\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^3} \]各辺に\(\,r\,\)を掛けると
\[ 1=\cfrac{j\lambda}{2\pi r}=\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^2} \]これより
\[ \begin{eqnarray} 1&=&\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^2} \\ r^2&=&\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2} \\ r&=&\sqrt{\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2}} \\ &=&\cfrac{\lambda}{2\pi} \\ \therefore \boxed{\quad\text{A}\quad}&=&\lambda/(2\pi) \end{eqnarray} \]\(r=\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)のとき、\(|E_1|\,\)、\(|E_2|\,\)、\(|E_3|\,\)の比は
\[ \begin{eqnarray} |E1|:|E2|:|E3|&=&\left|\cfrac1r\right|:\left|\cfrac{j\lambda}{2\pi r^2}\right|:\left|\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^3}\right| \\ &=&\left|\cfrac1{\lambda}\right|:\left|\cfrac{j\lambda}{2\pi \lambda^2}\right|:\left|\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2\lambda^3}\right| \\ &=&\left|\cfrac1{\lambda}\right|:\left|\cfrac{j}{2\pi \lambda}\right|:\left|\cfrac1{4\pi^2\lambda}\right| \\ &=&\left|1\right|:\left|\cfrac{j}{2\pi}\right|:\left|\cfrac1{4\pi^2}\right| \\ &=&1:0.5\times0.318:0.25\times10^{-1} \\ &=&1:0.159:0.025 \\ \therefore \boxed{\quad\text{B}\quad}&=&1:0.159:0.025 \end{eqnarray} \]答え…3
H31.1 A-1
次の記述は、自由空間に置かれた微小ダイポールアンテナを正弦波電流で励振した場合に発生する電界について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。
- 微小ダイポールアンテナの長さを\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)、微小ダイポールアンテナを流れる電流を\(\,I\,[\mathrm{A}]\,\)、角周波数を\(\,\omega\,[\mathrm{rad/s}]\,\)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)、微小ダイポールの電流が流れる方向と微小ダイポールの中心から距離\(\,r\,[\mathrm{m}]\,\)の任意の点\(\,P\,\)を見た方向とがなす角度を\(\,\theta\,[\mathrm{rad}]\,\)とすると、放射電界、誘導電解及び静電界の3つの成分からなる点\(\,P\,\)における微小ダイポールによる電界強度\(\,E_{\theta}\,\)は、次式で表される。 \[ E_{\theta}=\cfrac{j60\pi Il\sin\theta}{\lambda}\left(\cfrac1r-\cfrac{j\lambda}{2\pi r^2}-\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^3}\right)e^{j(\omega t-2\pi r/\lambda)}\,[\mathrm{V/m}]\cdots\text{①} \]
- \(E_{\theta}\,\)の放射電界の大きさを\(\,|E_1|\,[\mathrm{V/m}]\,\)、\(E_{\theta}\,\)の誘導電界の大きさを\(\,|E_2|\,[\mathrm{V/m}]\,\)、\(E_{\theta}\,\)の静電界の大きさを\(\,|E_3|\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすると、\(\,|E_1|\,\)、\(\,|E_2|\,\)、\(\,|E_3|\,\)は、式①より微小ダイポールの中心からの距離\(\,r\,\)が\(\,\boxed{\quad\text{A}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)のとき等しくなる。
- 微小ダイポールの中心からの距離\(\,r=5\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)のとき、\(|E_1|\,\)、\(|E_2|\,\)、\(|E_3|\,\)の比は、式①より\(\,|E_1|:|E_2|:|E_3|\fallingdotseq\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)となる。
\[
\begin{array}{r c c}
&\text{A}&\text{B} \\
1&\lambda/\pi&0.0039:0.063:1 \\
2&\lambda/\pi&1:0.032:0.001 \\
3&\lambda/(2\pi)&1:0.159:0.025 \\
4&\lambda/(2\pi)&0.0039:0.063:1 \\
5&\lambda/(2\pi)&1:0.032:0.001
\end{array}
\]
解法
式①の()内の各項が、それぞれ\(|E_1|\,\)、\(|E_2|\,\)、\(|E_3|\,\)を表しており、(2)はこれらが等しくなる\(\,r\,\)を求めている。よって
\[ \cfrac1r=\cfrac{j\lambda}{2\pi r^2}=\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^3} \]各辺に\(\,r\,\)を掛けると
\[ 1=\cfrac{j\lambda}{2\pi r}=\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^2} \]これより
\[ \begin{eqnarray} 1&=&\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^2} \\ r^2&=&\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2} \\ r&=&\sqrt{\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2}} \\ &=&\cfrac{\lambda}{2\pi} \\ \therefore \boxed{\quad\text{A}\quad}&=&\lambda/(2\pi) \end{eqnarray} \]\(r=5\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)のとき、\(|E_1|\,\)、\(|E_2|\,\)、\(|E_3|\,\)の比は
\[ \begin{eqnarray} |E1|:|E2|:|E3|&=&\left|\cfrac1r\right|:\left|\cfrac{j\lambda}{2\pi r^2}\right|:\left|\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2r^3}\right| \\ &=&\left|\cfrac1{5\lambda}\right|:\left|\cfrac{j\lambda}{2\pi(5\lambda)^2}\right|:\left|\cfrac{\lambda^2}{4\pi^2(5\lambda)^3}\right| \\ &=&\left|\cfrac1{5\lambda}\right|:\left|\cfrac{j}{50\pi\lambda}\right|:\left|\cfrac1{500\pi^2\lambda}\right| \\ &=&\left|1\right|:\left|\cfrac{j}{10\pi}\right|:\left|\cfrac1{100\pi^2}\right| \\ &\fallingdotseq&1:10^{-1}\times0.318:10^{-2}\times10^{-1} \\ &=&1:0.032:0.001 \\ \therefore \boxed{\quad\text{B}\quad}&=&1:0.032:0.001 \end{eqnarray} \]