第一級陸上無線技術士試験 無線工学B 過去問題 R5.1(2) A-18 R4.1(2) B-5 R4.1(1) A-20 R3.1(2) A-18 R3.1(1) B-5 R1.7 A-18 H31.1 B-5 H29.7 B-5 H28.7 A-18

R5.1(2) A-18

次の記述は、自由空間において開口面の直径が波長に比べて十分大きなアンテナの利得を測定する場合に考慮しなければならない送受信アンテナ間の最小距離について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。

  1. 図に示すように、アンテナ1及びアンテナ2を距離\(\,R_1\,[\mathrm{m}]\,\)離して対向させたとき、アンテナ1の開口面上の任意の点とアンテナ2の開口面上の任意の点の間の距離が一定でないため、両アンテナ開口面上の任意の点の間を伝搬する電波の相互間に位相差が生じ、測定誤差の原因となる。
  2. 最大誤差の原因は、両アンテナの開口面上の2点間の最長距離\(\,R_2\,[\mathrm{m}]\,\)と最短距離\(\,R_1\,[\mathrm{m}]\,\)との差によって決まり、その差\(\,\Delta R\,\)は、次式によって表される。ただし、アンテナ1及びアンテナ2の開口面の直径をそれぞれ\(\,D_1\,[\mathrm{m}]\,\)及び\(\,D_2\,[\mathrm{m}]\,\)とし、\(D_1+D_2\ll R_1\,\)とする。 \[ \begin{eqnarray} \Delta R&=&R_2-R_1 \\ &=&\sqrt{{R_1}^2+\left(\cfrac{D_1}2+\cfrac{D_2}2\right)^2}-R_1 \\ &\fallingdotseq&\boxed{\quad\text{A}\quad}\,[\mathrm{m}] \end{eqnarray} \]
  3. 通路差による測定利得の誤差を\(\,2\,[\mathrm{\%}]\,\)以内にするには、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、通路差\(\,\Delta R\,\)が\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)以下であればよいことが知られているので、両アンテナ間の最小距離\(\,R_{min}\,\)は、次式で表される。 \[ R_{min}=\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
\[ \begin{array}{r c c c} &\text{A}&\text{B}&\text{C} \\ 1&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4R_1}&\cfrac{\lambda}{16}&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{2\lambda} \\ 2&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\cfrac{\lambda}4&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4\lambda} \\ 3&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\cfrac{\lambda}{16}&\cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda} \\ 4&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4R_1}&\cfrac{\lambda}{16}&\cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda} \\ 5&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4R_1}&\cfrac{\lambda}4&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{2\lambda} \end{array} \]

解法

通路差\(\Delta R\,[\mathrm{m}]\,\)は、三平方の定理より

\[ \begin{eqnarray} \Delta R&=&R_2-R_1 \\ &=&\sqrt{{R_1}^2+\left(\cfrac{D_1}2+\cfrac{D_2}2\right)^2}-R_1 \\ &=&\sqrt{{R_1}^2\left\{1+\cfrac1{{R_1}^2}\left(\cfrac{D_1+D_2}2\right)^2\right\}}-R_1 \\ &=&R_1\sqrt{1+\cfrac1{{R_1}^2}\left(\cfrac{D_1+D_2}2\right)^2}-R_1 \\ &=&R_1\left\{1+\left(\cfrac{D_1+D_2}{2R_1}\right)^2\right\}^{\frac12}-R_1 \\ \end{eqnarray} \]

二項定理より

\[ \begin{eqnarray} \Delta R&\fallingdotseq&R_1\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{D_1+D_2}{2R_1}\right)^2\right\}-R_1 \\ &=&R_1+\cfrac{R_1}2\left(\cfrac{D_1+D_2}{2R_1}\right)^2-R_1 \\ &=&\cfrac{R_1}2\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4{R_1}^2} \\ &=&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \end{eqnarray} \]

通路差による測定利得の誤差を\(\,2\,[\mathrm{\%}]\,\)以内にするには、

\[ \Delta R\lt\cfrac{\lambda}{16}\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \]

\(\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)の解より

\[ \begin{eqnarray} \Delta R=\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\lt&\cfrac{\lambda}{16} \\ (D_1+D_2)^2&\lt&\cfrac{\lambda}{16}8R_1 \\ (D_1+D_2)^2&\lt&\cfrac{\lambda}2R_1 \\ \cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda}&\lt&R_1 \\ \therefore R_{min}&=&\cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda}\,[\mathrm{m}]\cdots\boxed{\quad\text{C}\quad} \end{eqnarray} \]

答え…3

R4.1(2) B-5

次の記述は、アンテナ利得などの測定において、送信又は受信アンテナの一方の開口の大きさが波長に比べて大きいときの測定距離について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句を下の番号から選べ。ただし、任意の角度を\(\,\alpha\,\)とすれば、\(\cos^2(\alpha/2)=(1+\cos\alpha)/2\,\)である。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。

  1. 図1に示すように、アンテナ間の測定距離を\(\,L\,[\mathrm{m}]\,\)、寸法が大きい方の円形開口面アンテナ1の直径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、その縁\(\,P\,\)から小さい方のアンテナ2までの距離を\(\,L'\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、\(L\,\)と\(\,L'\,\)の距離の差\(\,\Delta L\,\)は、次式で表される。ただし、\(\,L\gt D\,\)とし、アンテナ2の大きさは無視できるものとする。 \[ \begin{eqnarray} \Delta L&=&L'-L=\boxed{\quad\text{ア}\quad}-L \\ &\fallingdotseq&L\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac D{2L}\right)^2\right\}-L=\cfrac{D^2}{8L}\,[\mathrm{m}]\cdots\text{①} \end{eqnarray} \] 波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、\(\Delta L\,\)による電波の位相差\(\,\Delta\theta\,\)は、次式となる。 \[ \Delta\theta=\boxed{\quad\text{イ}\quad}\,[\mathrm{rad}]\cdots\text{②} \]
  2. アンテナ1の中心からの電波の電界強度\(\,\dot{E_0}\,[\mathrm{V/m}]\,\)とその縁からの電波の電界強度\(\,\dot{{E_0}'}\,[\mathrm{V/m}]\,\)は、アンテナ2の点において、その大きさが等しく位相のみが異なるものとし、その大きさをいずれも\(\,E_0\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすれば、\(\dot{E_0}\,\)と\(\,\dot{{E_0}'}\,\)との間に位相差がないときの受信点での合成電界強度の大きさ\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)は、\(\boxed{\quad\text{ウ}\quad}\,[\mathrm{V/m}]\,\)である。また、位相差が\(\,\Delta\theta\,\)のときの合成電界強度\(\,\dot{E'}\,\)の大きさ\(\,E'\,\)は、図2のベクトル図から、次式で表される。 \[ \begin{eqnarray} E'=\boxed{\quad\text{エ}\quad}=\boxed{\quad\text{ウ}\quad}\times\cos\left(\cfrac{\Delta\theta}2\right)\,[\mathrm{V/m}]\cdots\text{③} \end{eqnarray} \] したがって、次式が得られる。 \[ E'/E=\cos\left(\cfrac{\Delta\theta}2\right)\cdots\text{④} \]
  3. 式④へ\(\,\Delta\theta=\pi/8\,[\mathrm{rad}]\,\)を代入すると、\(E'/E\fallingdotseq0.98\,\)となり、誤差は約\(\,2\,[\mathrm{\%}]\,\)となる。したがって、誤差が約\(\,2\,[\mathrm{\%}]\,\)以下となる最小の測定距離\(\,L_{min}\,\)は、式②から次式となる。 \[ L_{min}=\boxed{\quad\text{オ}\quad}\,[\mathrm{V/m}] \]
\[ \begin{array}{r c} 1&\sqrt{4L^2+D^2} \\ 2&\cfrac{\pi D^2}{4\lambda L} \\ 3&\sqrt{2}E_0 \\ 4&\sqrt{2}E_0\sqrt{1-\cos\Delta\theta} \\ 5&\cfrac{D^2}{\lambda} \\ 6&\sqrt{L^2+\left(\cfrac D2\right)^2} \\ 7&\cfrac{\pi D^2}{8\lambda L} \\ 8&2E_0 \\ 9&\sqrt{2}E_0\sqrt{1+\cos\Delta\theta} \\ 10&\cfrac{2D^2}{\lambda} \end{array} \]

解法

\(L'\,[\mathrm{m}]\,\)の長さは、三平方の定理より

\[ \begin{eqnarray} {L'}^2&=&L^2+\left(\cfrac D2\right)^2 \\ L'&=&\sqrt{L^2+\left(\cfrac D2\right)^2}\cdots\boxed{\quad\text{ア}\quad} \\ &=&\sqrt{L^2\left\{1+\cfrac 1{L^2}\left(\cfrac D2\right)^2\right\}} \\ &=&L\sqrt{1+\cfrac 1{L^2}\left(\cfrac D2\right)^2} \\ &=&L\sqrt{1+\left(\cfrac D{2L}\right)^2} \\ &=&L\left\{1+\left(\cfrac D{2L}\right)^2\right\}^{\frac 12} \end{eqnarray} \]

\(\,L\gt D\,\)なので、二項定理より

\[ L'=L\left\{1+\cfrac 12\left(\cfrac D{2L}\right)^2\right\} \]

位相差\(\,\Delta\theta\,\)は、位相定数を\(\,\beta\,\)とすると

\[ \Delta\theta=\beta\Delta L \]

で表される。ここで、位相定数を\(\,\beta=\frac{2\pi}{\lambda}\,\)とすると

\[ \begin{eqnarray} \Delta\theta&=&\cfrac{2\pi}{\lambda}\cfrac{D^2}{8L} \\ &=&\cfrac{\pi D^2}{4\lambda L}\cdots\boxed{\quad\text{イ}\quad} \end{eqnarray} \]

位相差がないときの合成電界強度は

\[ E=2E_0\,[\mathrm{V/m}]\cdots\boxed{\quad\text{ウ}\quad} \]

問題で与えられた\(\,\cos^2(\alpha/2)=(1+\cos\alpha)/2\,\)を③の式に適用すると

\[ \begin{eqnarray} E'&=&2E_0\times\cos\left(\cfrac{\Delta\theta}2\right) \\ &=&2E_0\sqrt{\cos^2\left(\cfrac{\Delta\theta}2\right)} \\ &=&2E_0\sqrt{\cfrac{1+\cos\Delta\theta}2} \\ &=&\cfrac{2E_0}{\sqrt{2}}\sqrt{1+\cos\Delta\theta} \\ &=&\sqrt{2}E_0\sqrt{1+\cos\Delta\theta}\cdots\boxed{\quad\text{エ}\quad} \end{eqnarray} \]

式②の\(\,\Delta\theta\,\)を\(\,\pi/8\,[\mathrm{rad}]\,\)としたときの\(\,L\,\)が\(\,L_{min}\,\)であるから

\[ \begin{eqnarray} \cfrac{\pi}8&=&\cfrac{\pi D^2}{4\lambda L} \\ L&=&\cfrac{\pi D^2}{4\lambda}\cfrac 8{\pi} \\ &=&\cfrac{2D^2}{\lambda} \\ \therefore L_{min}&=&\cfrac{2D^2}{\lambda}\cdots\boxed{\quad\text{オ}\quad} \end{eqnarray} \]

答え…ア-6 イ-2 ウ-8 エ-9 オ-10

R4.1(1) A-20

次の記述は、自由空間において開口面の直径が波長に比べて十分大きなアンテナの利得を測定する場合に考慮しなければならない送受信アンテナ間の最小距離について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。

  1. 図に示すように、アンテナ1及びアンテナ2を距離\(\,R_1\,[\mathrm{m}]\,\)離して対向させたとき、アンテナ1の開口面上の任意の点とアンテナ2の開口面上の任意の点の間の距離が一定でないため、両アンテナ開口面上の任意の点の間を伝搬する電波の相互間に位相差が生じ、測定誤差の原因となる。
  2. 最大誤差の原因は、両アンテナの開口面上の2点間の最長距離\(\,R_2\,[\mathrm{m}]\,\)と最短距離\(\,R_1\,[\mathrm{m}]\,\)との差によって決まり、その差\(\,\Delta R\,\)は、次式によって表される。ただし、アンテナ1及びアンテナ2の開口面の直径をそれぞれ\(\,D_1\,[\mathrm{m}]\,\)及び\(\,D_2\,[\mathrm{m}]\,\)とし、\(D_1+D_2\ll R_1\,\)とする。 \[ \begin{eqnarray} \Delta R&=&R_2-R_1 \\ &=&\sqrt{{R_1}^2+\left(\cfrac{D_1}2+\cfrac{D_2}2\right)^2}-R_1 \\ &\fallingdotseq&\boxed{\quad\text{A}\quad}\,[\mathrm{m}] \end{eqnarray} \]
  3. 通路差による測定利得の誤差を\(\,2\,[\mathrm{\%}]\,\)以内にするには、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、通路差\(\,\Delta R\,\)が\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)以下であればよいことが知られているので、両アンテナ間の最小距離\(\,R_{min}\,\)は、次式で表される。 \[ R_{min}=\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
\[ \begin{array}{r c c c} &\text{A}&\text{B}&\text{C} \\ 1&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\cfrac{\lambda}{16}&\cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda} \\ 2&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\cfrac{\lambda}4&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{2\lambda} \\ 3&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\cfrac{\lambda}{16}&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{2\lambda} \\ 4&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4R_1}&\cfrac{\lambda}{16}&\cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda} \\ 5&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4R_1}&\cfrac{\lambda}4&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4\lambda} \end{array} \]

解法

通路差\(\Delta R\,[\mathrm{m}]\,\)は、三平方の定理より

\[ \begin{eqnarray} \Delta R&=&R_2-R_1 \\ &=&\sqrt{{R_1}^2+\left(\cfrac{D_1}2+\cfrac{D_2}2\right)^2}-R_1 \\ &=&\sqrt{{R_1}^2\left\{1+\cfrac1{{R_1}^2}\left(\cfrac{D_1+D_2}2\right)^2\right\}}-R_1 \\ &=&R_1\sqrt{1+\cfrac1{{R_1}^2}\left(\cfrac{D_1+D_2}2\right)^2}-R_1 \\ &=&R_1\left\{1+\left(\cfrac{D_1+D_2}{2R_1}\right)^2\right\}^{\frac12}-R_1 \\ \end{eqnarray} \]

二項定理より

\[ \begin{eqnarray} \Delta R&\fallingdotseq&R_1\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{D_1+D_2}{2R_1}\right)^2\right\}-R_1 \\ &=&R_1+\cfrac{R_1}2\left(\cfrac{D_1+D_2}{2R_1}\right)^2-R_1 \\ &=&\cfrac{R_1}2\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4{R_1}^2} \\ &=&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \end{eqnarray} \]

通路差による測定利得の誤差を\(\,2\,[\mathrm{\%}]\,\)以内にするには、

\[ \Delta R\lt\cfrac{\lambda}{16}\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \]

\(\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)の解より

\[ \begin{eqnarray} \Delta R=\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\lt&\cfrac{\lambda}{16} \\ (D_1+D_2)^2&\lt&\cfrac{\lambda}{16}8R_1 \\ (D_1+D_2)^2&\lt&\cfrac{\lambda}2R_1 \\ \cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda}&\lt&R_1 \\ \therefore R_{min}&=&\cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda}\,[\mathrm{m}]\cdots\boxed{\quad\text{C}\quad} \end{eqnarray} \]

答え…1

R3.1(2) A-18

次の記述は、自由空間において開口面の直径が波長に比べて十分大きなアンテナの利得を測定する場合に考慮しなければならない送受信アンテナ間の最小距離について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。

  1. 図に示すように、アンテナ1及びアンテナ2を距離\(\,R_1\,[\mathrm{m}]\,\)離して対向させたとき、アンテナ1の開口面上の任意の点とアンテナ2の開口面上の任意の点の間の距離が一定でないため、両アンテナ開口面上の任意の点の間を伝搬する電波の相互間に位相差が生じ、測定誤差の原因となる。
  2. 最大誤差の原因は、両アンテナの開口面上の2点間の最長距離\(\,R_2\,[\mathrm{m}]\,\)と最短距離\(\,R_1\,[\mathrm{m}]\,\)との差によって決まり、その差\(\,\Delta R\,\)は、次式によって表される。ただし、アンテナ1及びアンテナ2の開口面の直径をそれぞれ\(\,D_1\,[\mathrm{m}]\,\)及び\(\,D_2\,[\mathrm{m}]\,\)とし、\(D_1+D_2\ll R_1\,\)とする。 \[ \begin{eqnarray} \Delta R&=&R_2-R_1 \\ &=&\sqrt{{R_1}^2+\left(\cfrac{D_1}2+\cfrac{D_2}2\right)^2}-R_1 \\ &\fallingdotseq&\boxed{\quad\text{A}\quad}\,[\mathrm{m}] \end{eqnarray} \]
  3. 通路差による測定利得の誤差を\(\,2\,[\mathrm{\%}]\,\)以内にするには、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、通路差\(\,\Delta R\,\)が\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)以下であればよいことが知られているので、両アンテナ間の最小距離\(\,R_{min}\,\)は、次式で表される。 \[ R_{min}=\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
\[ \begin{array}{r c c c} &\text{A}&\text{B}&\text{C} \\ 1&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4R_1}&\cfrac{\lambda}{16}&\cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda} \\ 2&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4R_1}&\cfrac{\lambda}4&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{2\lambda} \\ 3&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\cfrac{\lambda}{16}&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{2\lambda} \\ 4&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\cfrac{\lambda}{16}&\cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda} \\ 5&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\cfrac{\lambda}4&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4\lambda} \end{array} \]

解法

通路差\(\Delta R\,[\mathrm{m}]\,\)は、三平方の定理より

\[ \begin{eqnarray} \Delta R&=&R_2-R_1 \\ &=&\sqrt{{R_1}^2+\left(\cfrac{D_1}2+\cfrac{D_2}2\right)^2}-R_1 \\ &=&\sqrt{{R_1}^2\left\{1+\cfrac1{{R_1}^2}\left(\cfrac{D_1+D_2}2\right)^2\right\}}-R_1 \\ &=&R_1\sqrt{1+\cfrac1{{R_1}^2}\left(\cfrac{D_1+D_2}2\right)^2}-R_1 \\ &=&R_1\left\{1+\left(\cfrac{D_1+D_2}{2R_1}\right)^2\right\}^{\frac12}-R_1 \\ \end{eqnarray} \]

二項定理より

\[ \begin{eqnarray} \Delta R&\fallingdotseq&R_1\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{D_1+D_2}{2R_1}\right)^2\right\}-R_1 \\ &=&R_1+\cfrac{R_1}2\left(\cfrac{D_1+D_2}{2R_1}\right)^2-R_1 \\ &=&\cfrac{R_1}2\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4{R_1}^2} \\ &=&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \end{eqnarray} \]

通路差による測定利得の誤差を\(\,2\,[\mathrm{\%}]\,\)以内にするには、

\[ \Delta R\lt\cfrac{\lambda}{16}\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \]

\(\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)の解より

\[ \begin{eqnarray} \Delta R=\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\lt&\cfrac{\lambda}{16} \\ (D_1+D_2)^2&\lt&\cfrac{\lambda}{16}8R_1 \\ (D_1+D_2)^2&\lt&\cfrac{\lambda}2R_1 \\ \cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda}&\lt&R_1 \\ \therefore R_{min}&=&\cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda}\,[\mathrm{m}]\cdots\boxed{\quad\text{C}\quad} \end{eqnarray} \]

答え…4

R3.1(1) B-5

次の記述は、アンテナ利得などの測定において、送信又は受信アンテナの一方の開口の大きさが波長に比べて大きいときの測定距離について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句を下の番号から選べ。ただし、任意の角度を\(\,\alpha\,\)とすれば、\(\cos^2(\alpha/2)=(1+\cos\alpha)/2\,\)である。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。

  1. 図1に示すように、アンテナ間の測定距離を\(\,L\,[\mathrm{m}]\,\)、寸法が大きい方の円形開口面アンテナ1の直径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、その縁\(\,P\,\)から小さい方のアンテナ2までの距離を\(\,L'\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、\(L\,\)と\(\,L'\,\)の距離の差\(\,\Delta L\,\)は、次式で表される。ただし、\(\,L\gt D\,\)とし、アンテナ2の大きさは無視できるものとする。 \[ \begin{eqnarray} \Delta L&=&L'-L=\boxed{\quad\text{ア}\quad}-L \\ &\fallingdotseq&L\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac D{2L}\right)^2\right\}-L=\cfrac{D^2}{8L}\,[\mathrm{m}]\cdots\text{①} \end{eqnarray} \] 波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、\(\Delta L\,\)による電波の位相差\(\,\Delta\theta\,\)は、次式となる。 \[ \Delta\theta=\boxed{\quad\text{イ}\quad}\,[\mathrm{rad}]\cdots\text{②} \]
  2. アンテナ1の中心からの電波の電界強度\(\,\dot{E_0}\,[\mathrm{V/m}]\,\)とその縁からの電波の電界強度\(\,\dot{{E_0}'}\,[\mathrm{V/m}]\,\)は、アンテナ2の点において、その大きさが等しく位相のみが異なるものとし、その大きさをいずれも\(\,E_0\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすれば、\(\dot{E_0}\,\)と\(\,\dot{{E_0}'}\,\)との間に位相差がないときの受信点での合成電界強度の大きさ\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)は、\(\boxed{\quad\text{ウ}\quad}\,[\mathrm{V/m}]\,\)である。また、位相差が\(\,\Delta\theta\,\)のときの合成電界強度\(\,\dot{E'}\,\)の大きさ\(\,E'\,\)は、図2のベクトル図から、次式で表される。 \[ \begin{eqnarray} E'=\boxed{\quad\text{エ}\quad}=\boxed{\quad\text{ウ}\quad}\times\cos\left(\cfrac{\Delta\theta}2\right)\,[\mathrm{V/m}]\cdots\text{③} \end{eqnarray} \] したがって、次式が得られる。 \[ E'/E=\cos\left(\cfrac{\Delta\theta}2\right)\cdots\text{④} \]
  3. 式④へ\(\,\Delta\theta=\pi/8\,[\mathrm{rad}]\,\)を代入すると、\(E'/E\fallingdotseq0.98\,\)となり、誤差は約\(\,2\,[\mathrm{\%}]\,\)となる。したがって、誤差が約\(\,2\,[\mathrm{\%}]\,\)以下となる最小の測定距離\(\,L_{min}\,\)は、式②から次式となる。 \[ L_{min}=\boxed{\quad\text{オ}\quad}\,[\mathrm{V/m}] \]
\[ \begin{array}{r c} 1&\sqrt{L^2+D^2} \\ 2&\cfrac{\pi D^2}{8\lambda L} \\ 3&\sqrt{2}E_0 \\ 4&\sqrt{2}E_0\sqrt{1+\cos\Delta\theta} \\ 5&\cfrac{2D^2}{\lambda} \\ 6&\sqrt{L^2+\left(\cfrac D2\right)^2} \\ 7&\cfrac{\pi D^2}{4\lambda L} \\ 8&2E_0 \\ 9&\sqrt{2}E_0\sqrt{1-\cos\Delta\theta} \\ 10&\cfrac{D^2}{\lambda} \end{array} \]

解法

\(L'\,[\mathrm{m}]\,\)の長さは、三平方の定理より

\[ \begin{eqnarray} {L'}^2&=&L^2+\left(\cfrac D2\right)^2 \\ L'&=&\sqrt{L^2+\left(\cfrac D2\right)^2}\cdots\boxed{\quad\text{ア}\quad} \\ &=&\sqrt{L^2\left\{1+\cfrac 1{L^2}\left(\cfrac D2\right)^2\right\}} \\ &=&L\sqrt{1+\cfrac 1{L^2}\left(\cfrac D2\right)^2} \\ &=&L\sqrt{1+\left(\cfrac D{2L}\right)^2} \\ &=&L\left\{1+\left(\cfrac D{2L}\right)^2\right\}^{\frac 12} \end{eqnarray} \]

\(\,L\gt D\,\)なので、二項定理より

\[ L'=L\left\{1+\cfrac 12\left(\cfrac D{2L}\right)^2\right\} \]

位相差\(\,\Delta\theta\,\)は、位相定数を\(\,\beta\,\)とすると

\[ \Delta\theta=\beta\Delta L \]

で表される。ここで、位相定数を\(\,\beta=\frac{2\pi}{\lambda}\,\)とすると

\[ \begin{eqnarray} \Delta\theta&=&\cfrac{2\pi}{\lambda}\cfrac{D^2}{8L} \\ &=&\cfrac{\pi D^2}{4\lambda L}\cdots\boxed{\quad\text{イ}\quad} \end{eqnarray} \]

位相差がないときの合成電界強度は

\[ E=2E_0\,[\mathrm{V/m}]\cdots\boxed{\quad\text{ウ}\quad} \]

問題で与えられた\(\,\cos^2(\alpha/2)=(1+\cos\alpha)/2\,\)を③の式に適用すると

\[ \begin{eqnarray} E'&=&2E_0\times\cos\left(\cfrac{\Delta\theta}2\right) \\ &=&2E_0\sqrt{\cos^2\left(\cfrac{\Delta\theta}2\right)} \\ &=&2E_0\sqrt{\cfrac{1+\cos\Delta\theta}2} \\ &=&\cfrac{2E_0}{\sqrt{2}}\sqrt{1+\cos\Delta\theta} \\ &=&\sqrt{2}E_0\sqrt{1+\cos\Delta\theta}\cdots\boxed{\quad\text{エ}\quad} \end{eqnarray} \]

式②の\(\,\Delta\theta\,\)を\(\,\pi/8\,[\mathrm{rad}]\,\)としたときの\(\,L\,\)が\(\,L_{min}\,\)であるから

\[ \begin{eqnarray} \cfrac{\pi}8&=&\cfrac{\pi D^2}{4\lambda L} \\ L&=&\cfrac{\pi D^2}{4\lambda}\cfrac 8{\pi} \\ &=&\cfrac{2D^2}{\lambda} \\ \therefore L_{min}&=&\cfrac{2D^2}{\lambda}\cdots\boxed{\quad\text{オ}\quad} \end{eqnarray} \]

答え…ア-6 イ-7 ウ-8 エ-4 オ-5

R1.7 A-18

次の記述は、自由空間において、開口面の直径が波長に比べて十分大きなアンテナの利得を測定する場合に考慮しなければならない送受信アンテナ間の最小距離について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。

  1. 図1に示すように、アンテナ1及びアンテナ2を距離\(\,R_1\,[\mathrm{m}]\,\)離して対向させたとき、アンテナ1の開口面上の任意の点とアンテナ2の開口面上の任意の点の間の距離が一定でないため、両アンテナ開口面上の任意の点の間を伝搬する電波の相互間に位相差が生じ、測定誤差の原因となる。
  2. 最大誤差の原因は、両アンテナの開口面上の2点間の最長距離\(\,R_2\,[\mathrm{m}]\,\)と最短距離\(\,R_1\,[\mathrm{m}]\,\)との差によって決まり、その差\(\,\Delta R\,\)は、次式によって表される。ただし、アンテナ1及びアンテナ2の開口面の直径をそれぞれ\(\,D_1\,[\mathrm{m}]\,\)及び\(\,D_2\,[\mathrm{m}]\,\)とし、\(D_1+D_2\ll R_1\,\)とする。 \[ \begin{eqnarray} \Delta R&=&R_2-R_1 \\ &=&\sqrt{{R_1}^2+\left(\cfrac{D_1}2+\cfrac{D_2}2\right)^2}-R_1 \\ &\fallingdotseq&\boxed{\quad\text{A}\quad}\,[\mathrm{m}] \end{eqnarray} \]
  3. 通路差による測定利得の誤差を\(\,2\,[\mathrm{\%}]\,\)以内にするには、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、通路差\(\,\Delta R\,\)が\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)以下であればよいことが知られているので、両アンテナ間の最小距離\(\,R_{min}\,\)は、次式で表される。 \[ R_{min}=\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
\[ \begin{array}{r c c c} &\text{A}&\text{B}&\text{C} \\ 1&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\cfrac{\lambda}{16}&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{2\lambda} \\ 2&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\cfrac{\lambda}4&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4\lambda} \\ 3&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\cfrac{\lambda}{16}&\cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda} \\ 4&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4R_1}&\cfrac{\lambda}{16}&\cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda} \\ 5&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4R_1}&\cfrac{\lambda}4&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{2\lambda} \end{array} \]

解法

通路差\(\Delta R\,[\mathrm{m}]\,\)は、三平方の定理より

\[ \begin{eqnarray} \Delta R&=&R_2-R_1 \\ &=&\sqrt{{R_1}^2+\left(\cfrac{D_1}2+\cfrac{D_2}2\right)^2}-R_1 \\ &=&\sqrt{{R_1}^2\left\{1+\cfrac1{{R_1}^2}\left(\cfrac{D_1+D_2}2\right)^2\right\}}-R_1 \\ &=&R_1\sqrt{1+\cfrac1{{R_1}^2}\left(\cfrac{D_1+D_2}2\right)^2}-R_1 \\ &=&R_1\left\{1+\left(\cfrac{D_1+D_2}{2R_1}\right)^2\right\}^{\frac12}-R_1 \\ \end{eqnarray} \]

二項定理より

\[ \begin{eqnarray} \Delta R&\fallingdotseq&R_1\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{D_1+D_2}{2R_1}\right)^2\right\}-R_1 \\ &=&R_1+\cfrac{R_1}2\left(\cfrac{D_1+D_2}{2R_1}\right)^2-R_1 \\ &=&\cfrac{R_1}2\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4{R_1}^2} \\ &=&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \end{eqnarray} \]

通路差による測定利得の誤差を\(\,2\,[\mathrm{\%}]\,\)以内にするには、

\[ \Delta R\lt\cfrac{\lambda}{16}\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \]

\(\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)の解より

\[ \begin{eqnarray} \Delta R=\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\lt&\cfrac{\lambda}{16} \\ (D_1+D_2)^2&\lt&\cfrac{\lambda}{16}8R_1 \\ (D_1+D_2)^2&\lt&\cfrac{\lambda}2R_1 \\ \cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda}&\lt&R_1 \\ \therefore R_{min}&=&\cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda}\,[\mathrm{m}]\cdots\boxed{\quad\text{C}\quad} \end{eqnarray} \]

答え…3

H31.1 B-5

次の記述は、アンテナ利得などの測定において、送信又は受信アンテナの一方の開口の大きさが波長に比べて大きいときの測定距離について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句を下の番号から選べ。ただし、任意の角度を\(\,\alpha\,\)とすれば、\(\cos^2(\alpha/2)=(1+\cos\alpha)/2\,\)である。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。

  1. 図1に示すように、アンテナ間の測定距離を\(\,L\,[\mathrm{m}]\,\)、寸法が大きい方の円形開口面アンテナ1の直径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、その縁\(\,P\,\)から小さい方のアンテナ2までの距離を\(\,L'\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、\(L\,\)と\(\,L'\,\)の距離の差\(\,\Delta L\,\)は、次式で表される。ただし、\(\,L\gt D\,\)とし、アンテナ2の大きさは無視できるものとする。 \[ \begin{eqnarray} \Delta L&=&L'-L=\boxed{\quad\text{ア}\quad}-L \\ &\fallingdotseq&L\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac D{2L}\right)^2\right\}-L=\cfrac{D^2}{8L}\,[\mathrm{m}]\cdots\text{①} \end{eqnarray} \] 波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、\(\Delta L\,\)による電波の位相差\(\,\Delta\theta\,\)は、次式となる。 \[ \Delta\theta=\boxed{\quad\text{イ}\quad}\,[\mathrm{rad}]\cdots\text{②} \]
  2. アンテナ1の中心からの電波の電界強度\(\,\dot{E_0}\,[\mathrm{V/m}]\,\)とその縁からの電波の電界強度\(\,\dot{{E_0}'}\,[\mathrm{V/m}]\,\)は、アンテナ2の点において、その大きさが等しく位相のみが異なるものとし、その大きさをいずれも\(\,E_0\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすれば、\(\dot{E_0}\,\)と\(\,\dot{{E_0}'}\,\)との間に位相差がないときの受信点での合成電界強度の大きさ\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)は、\(\boxed{\quad\text{ウ}\quad}\,[\mathrm{V/m}]\,\)である。また、位相差が\(\,\Delta\theta\,\)のときの合成電界強度\(\,\dot{E'}\,\)の大きさ\(\,E'\,\)は、図2のベクトル図から、次式で表される。 \[ \begin{eqnarray} E'=\boxed{\quad\text{エ}\quad}=\boxed{\quad\text{ウ}\quad}\times\cos\left(\cfrac{\Delta\theta}2\right)\,[\mathrm{V/m}]\cdots\text{③} \end{eqnarray} \] したがって、次式が得られる。 \[ E'/E=\cos\left(\cfrac{\Delta\theta}2\right)\cdots\text{④} \]
  3. 式④へ\(\,\Delta\theta=\pi/8\,[\mathrm{rad}]\,\)を代入すると、\(E'/E\fallingdotseq0.98\,\)となり、誤差は約\(\,2\,[\mathrm{\%}]\,\)となる。したがって、誤差が約\(\,2\,[\mathrm{\%}]\,\)以下となる最小の測定距離\(\,L_{min}\,\)は、式②から次式となる。 \[ L_{min}=\boxed{\quad\text{オ}\quad}\,[\mathrm{V/m}] \]
\[ \begin{array}{r c} 1&\sqrt{L^2+\left(\cfrac D2\right)^2} \\ 2&\cfrac{\pi D^2}{4\lambda L} \\ 3&2E_0 \\ 4&\sqrt{2}E_0\sqrt{1-\cos\Delta\theta} \\ 5&\cfrac{2D^2}{\lambda} \\ 6&\sqrt{L^2+D^2} \\ 7&\cfrac{\pi D^2}{8\lambda L} \\ 8&\sqrt{2}E_0 \\ 9&\sqrt{2}E_0\sqrt{1+\cos\Delta\theta} \\ 10&\cfrac{D^2}{\lambda} \end{array} \]

解法

\(L'\,[\mathrm{m}]\,\)の長さは、三平方の定理より

\[ \begin{eqnarray} {L'}^2&=&L^2+\left(\cfrac D2\right)^2 \\ L'&=&\sqrt{L^2+\left(\cfrac D2\right)^2}\cdots\boxed{\quad\text{ア}\quad} \\ &=&\sqrt{L^2\left\{1+\cfrac 1{L^2}\left(\cfrac D2\right)^2\right\}} \\ &=&L\sqrt{1+\cfrac 1{L^2}\left(\cfrac D2\right)^2} \\ &=&L\sqrt{1+\left(\cfrac D{2L}\right)^2} \\ &=&L\left\{1+\left(\cfrac D{2L}\right)^2\right\}^{\frac 12} \end{eqnarray} \]

\(\,L\gt D\,\)なので、二項定理より

\[ L'=L\left\{1+\cfrac 12\left(\cfrac D{2L}\right)^2\right\} \]

位相差\(\,\Delta\theta\,\)は、位相定数を\(\,\beta\,\)とすると

\[ \Delta\theta=\beta\Delta L \]

で表される。ここで、位相定数を\(\,\beta=\frac{2\pi}{\lambda}\,\)とすると

\[ \begin{eqnarray} \Delta\theta&=&\cfrac{2\pi}{\lambda}\cfrac{D^2}{8L} \\ &=&\cfrac{\pi D^2}{4\lambda L}\cdots\boxed{\quad\text{イ}\quad} \end{eqnarray} \]

位相差がないときの合成電界強度は

\[ E=2E_0\,[\mathrm{V/m}]\cdots\boxed{\quad\text{ウ}\quad} \]

問題で与えられた\(\,\cos^2(\alpha/2)=(1+\cos\alpha)/2\,\)を③の式に適用すると

\[ \begin{eqnarray} E'&=&2E_0\times\cos\left(\cfrac{\Delta\theta}2\right) \\ &=&2E_0\sqrt{\cos^2\left(\cfrac{\Delta\theta}2\right)} \\ &=&2E_0\sqrt{\cfrac{1+\cos\Delta\theta}2} \\ &=&\cfrac{2E_0}{\sqrt{2}}\sqrt{1+\cos\Delta\theta} \\ &=&\sqrt{2}E_0\sqrt{1+\cos\Delta\theta}\cdots\boxed{\quad\text{エ}\quad} \end{eqnarray} \]

式②の\(\,\Delta\theta\,\)を\(\,\pi/8\,[\mathrm{rad}]\,\)としたときの\(\,L\,\)が\(\,L_{min}\,\)であるから

\[ \begin{eqnarray} \cfrac{\pi}8&=&\cfrac{\pi D^2}{4\lambda L} \\ L&=&\cfrac{\pi D^2}{4\lambda}\cfrac 8{\pi} \\ &=&\cfrac{2D^2}{\lambda} \\ \therefore L_{min}&=&\cfrac{2D^2}{\lambda}\cdots\boxed{\quad\text{オ}\quad} \end{eqnarray} \]

答え…ア-1 イ-2 ウ-3 エ-9 オ-5

H29.7 B-5

次の記述は、アンテナ利得などの測定において、送信又は受信アンテナの一方の開口の大きさが波長に比べて大きいときの測定距離について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句を下の番号から選べ。ただし、任意の角度を\(\,\alpha\,\)とすれば、\(\cos(\alpha/2)=\sqrt{(1+\cos\alpha)/2}\,\)であり、三角形\(\,ABC\,\)の頂角を\(\,A\,\)、\(\,B\,\)、\(\,C\,\)とし、そのたいへんの長さをそれぞれ\(\,a\,\)、\(\,b\,\)、\(\,c\,\)すとれば、\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\,\)の関係がある。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。

  1. 図1に示すように、アンテナ間の測定距離を\(\,L\,[\mathrm{m}]\,\)、寸法が大きい方の円形開口面アンテナ1の直径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、その縁\(\,P\,\)から小さい方のアンテナ2までの距離を\(\,L'\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、\(L\,\)と\(\,L'\,\)の距離の差\(\,\Delta L\,\)は、次式で表される。ただし、\(\,L\gt D\,\)とし、アンテナ2の大きさは無視できるものとする。 \[ \begin{eqnarray} \Delta L&=&L'-L=\boxed{\quad\text{ア}\quad}-L \\ &\fallingdotseq&L\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac D{2L}\right)^2\right\}-L=\cfrac{D^2}{8L}\,[\mathrm{m}]\cdots\text{①} \end{eqnarray} \] 波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、\(\Delta L\,\)による電波の位相差\(\,\Delta\theta\,\)は、次式となる。 \[ \Delta\theta=\boxed{\quad\text{イ}\quad}\,[\mathrm{rad}]\cdots\text{②} \]
  2. アンテナ1の中心からの電波の電界強度\(\,\dot{E_0}\,[\mathrm{V/m}]\,\)とその縁からの電波の電界強度\(\,\dot{{E_0}'}\,[\mathrm{V/m}]\,\)は、アンテナ2の点において、その大きさが等しく位相のみが異なるものとし、その大きさをいずれも\(\,E_0\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすれば、\(\dot{E_0}\,\)と\(\,\dot{{E_0}'}\,\)との間に位相差がないときの受信点での合成電界強度の大きさ\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)は、\(\boxed{\quad\text{ウ}\quad}\,[\mathrm{V/m}]\,\)である。また、位相差が\(\,\Delta\theta\,\)のときの合成電界強度\(\,\dot{E'}\,\)の大きさ\(\,E'\,\)は、図2のベクトル図から、次式で表される。 \[ \begin{eqnarray} E'=\boxed{\quad\text{エ}\quad}=\boxed{\quad\text{ウ}\quad}\times\cos\left(\cfrac{\Delta\theta}2\right)\,[\mathrm{V/m}]\cdots\text{③} \end{eqnarray} \] したがって、次式が得られる。 \[ E'/E=\cos\left(\cfrac{\Delta\theta}2\right)\cdots\text{④} \]
  3. 式④へ\(\,\Delta\theta=\pi/8\,[\mathrm{rad}]\,\)を代入すると、\(E'/E\fallingdotseq0.98\,\)となり、誤差は約\(\,2\,[\mathrm{\%}]\,\)となる。したがって、誤差が約\(\,2\,[\mathrm{\%}]\,\)以下となる最小の測定距離\(\,L_{min}\,\)は、式②から次式となる。 \[ L_{min}=\boxed{\quad\text{オ}\quad}\,[\mathrm{V/m}] \]
\[ \begin{array}{r c} 1&\sqrt{L^2+D^2} \\ 2&\cfrac{\pi D^2}{8\lambda L} \\ 3&2E_0 \\ 4&\sqrt{2}E_0\sqrt{1+\cos\Delta\theta} \\ 5&\cfrac{2D^2}{\lambda} \\ 6&\sqrt{L^2+\left(\cfrac D2\right)^2} \\ 7&\cfrac{\pi D^2}{4\lambda L} \\ 4&\sqrt{2}E_0 \\ 9&\sqrt{2}E_0\sqrt{1-\cos\Delta\theta} \\ 10&\cfrac{D^2}{\lambda} \end{array} \]

解法

\(L'\,[\mathrm{m}]\,\)の長さは、三平方の定理より

\[ \begin{eqnarray} {L'}^2&=&L^2+\left(\cfrac D2\right)^2 \\ L'&=&\sqrt{L^2+\left(\cfrac D2\right)^2}\cdots\boxed{\quad\text{ア}\quad} \\ &=&\sqrt{L^2\left\{1+\cfrac 1{L^2}\left(\cfrac D2\right)^2\right\}} \\ &=&L\sqrt{1+\cfrac 1{L^2}\left(\cfrac D2\right)^2} \\ &=&L\sqrt{1+\left(\cfrac D{2L}\right)^2} \\ &=&L\left\{1+\left(\cfrac D{2L}\right)^2\right\}^{\frac 12} \end{eqnarray} \]

\(\,L\gt D\,\)なので、二項定理より

\[ L'=L\left\{1+\cfrac 12\left(\cfrac D{2L}\right)^2\right\} \]

位相差\(\,\Delta\theta\,\)は、位相定数を\(\,\beta\,\)とすると

\[ \Delta\theta=\beta\Delta L \]

で表される。ここで、位相定数を\(\,\beta=\frac{2\pi}{\lambda}\,\)とすると

\[ \begin{eqnarray} \Delta\theta&=&\cfrac{2\pi}{\lambda}\cfrac{D^2}{8L} \\ &=&\cfrac{\pi D^2}{4\lambda L}\cdots\boxed{\quad\text{イ}\quad} \end{eqnarray} \]

位相差がないときの合成電界強度は

\[ E=2E_0\,[\mathrm{V/m}]\cdots\boxed{\quad\text{ウ}\quad} \]

問題で与えられた\(\,\cos^2(\alpha/2)=(1+\cos\alpha)/2\,\)を③の式に適用すると

\[ \begin{eqnarray} E'&=&2E_0\times\cos\left(\cfrac{\Delta\theta}2\right) \\ &=&2E_0\sqrt{\cos^2\left(\cfrac{\Delta\theta}2\right)} \\ &=&2E_0\sqrt{\cfrac{1+\cos\Delta\theta}2} \\ &=&\cfrac{2E_0}{\sqrt{2}}\sqrt{1+\cos\Delta\theta} \\ &=&\sqrt{2}E_0\sqrt{1+\cos\Delta\theta}\cdots\boxed{\quad\text{エ}\quad} \end{eqnarray} \]

式②の\(\,\Delta\theta\,\)を\(\,\pi/8\,[\mathrm{rad}]\,\)としたときの\(\,L\,\)が\(\,L_{min}\,\)であるから

\[ \begin{eqnarray} \cfrac{\pi}8&=&\cfrac{\pi D^2}{4\lambda L} \\ L&=&\cfrac{\pi D^2}{4\lambda}\cfrac 8{\pi} \\ &=&\cfrac{2D^2}{\lambda} \\ \therefore L_{min}&=&\cfrac{2D^2}{\lambda}\cdots\boxed{\quad\text{オ}\quad} \end{eqnarray} \]

答え…ア-6 イ-7 ウ-3 エ-4 オ-5

H28.7 A-18

次の記述は、自由空間において、開口面の直径が波長に比べて十分大きなアンテナの利得を測定する場合に考慮しなければならない送受信アンテナ間の最小距離について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。

  1. 図1に示すように、アンテナ1及びアンテナ2を距離\(\,R_1\,[\mathrm{m}]\,\)離して対向させたとき、アンテナ1の開口面上の任意の点とアンテナ2の開口面上の任意の点の間の距離が一定でないため、両アンテナ開口面上の任意の点の間を伝搬する電波の相互間に位相差が生じ、測定誤差の原因となる。
  2. 最大の誤差は、両アンテナの開口面上の2点間の最長距離\(\,R_2\,[\mathrm{m}]\,\)と最短距離\(\,R_1\,[\mathrm{m}]\,\)との差によって決まり、その差\(\,\Delta R\,\)は、次式によって表される。ただし、アンテナ1及びアンテナ2の開口面の直径をそれぞれ\(\,D_1\,[\mathrm{m}]\,\)及び\(\,D_2\,[\mathrm{m}]\,\)とし、\(D_1+D_2\ll R_1\,\)とする。 \[ \begin{eqnarray} \Delta R&=&R_2-R_1 \\ &=&\sqrt{{R_1}^2+\left(\cfrac{D_1}2+\cfrac{D_2}2\right)^2}-R_1 \\ &\fallingdotseq&\boxed{\quad\text{A}\quad}\,[\mathrm{m}] \end{eqnarray} \]
  3. 通路差による測定利得の誤差を\(\,2\,[\mathrm{\%}]\,\)以内にするには、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、通路差\(\,\Delta R\,\)が\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)以下であればよいことが知られているので、両アンテナ間の最小距離\(\,R_{min}\,\)は、次式で表される。 \[ R_{min}=\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
\[ \begin{array}{r c c c} &\text{A}&\text{B}&\text{C} \\ 1&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\cfrac{\lambda}4&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{2\lambda} \\ 2&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\cfrac{\lambda}{16}&\cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda} \\ 3&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\cfrac{\lambda}2&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4\lambda} \\ 4&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4R_1}&\cfrac{\lambda}{16}&\cfrac{4(D_1+D_2)^2}{\lambda} \\ 5&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4R_1}&\cfrac{\lambda}4&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{\lambda} \end{array} \]

解法

通路差\(\Delta R\,[\mathrm{m}]\,\)は、三平方の定理より

\[ \begin{eqnarray} \Delta R&=&R_2-R_1 \\ &=&\sqrt{{R_1}^2+\left(\cfrac{D_1}2+\cfrac{D_2}2\right)^2}-R_1 \\ &=&\sqrt{{R_1}^2\left\{1+\cfrac1{{R_1}^2}\left(\cfrac{D_1+D_2}2\right)^2\right\}}-R_1 \\ &=&R_1\sqrt{1+\cfrac1{{R_1}^2}\left(\cfrac{D_1+D_2}2\right)^2}-R_1 \\ &=&R_1\left\{1+\left(\cfrac{D_1+D_2}{2R_1}\right)^2\right\}^{\frac12}-R_1 \\ \end{eqnarray} \]

二項定理より

\[ \begin{eqnarray} \Delta R&\fallingdotseq&R_1\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{D_1+D_2}{2R_1}\right)^2\right\}-R_1 \\ &=&R_1+\cfrac{R_1}2\left(\cfrac{D_1+D_2}{2R_1}\right)^2-R_1 \\ &=&\cfrac{R_1}2\cfrac{(D_1+D_2)^2}{4{R_1}^2} \\ &=&\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \end{eqnarray} \]

通路差による測定利得の誤差を\(\,2\,[\mathrm{\%}]\,\)以内にするには、

\[ \Delta R\lt\cfrac{\lambda}{16}\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \]

\(\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)の解より

\[ \begin{eqnarray} \Delta R=\cfrac{(D_1+D_2)^2}{8R_1}&\lt&\cfrac{\lambda}{16} \\ (D_1+D_2)^2&\lt&\cfrac{\lambda}{16}8R_1 \\ (D_1+D_2)^2&\lt&\cfrac{\lambda}2R_1 \\ \cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda}&\lt&R_1 \\ \therefore R_{min}&=&\cfrac{2(D_1+D_2)^2}{\lambda}\,[\mathrm{m}]\cdots\boxed{\quad\text{C}\quad} \end{eqnarray} \]

答え…2