R5.7(1) A-12
次の記述は、図に示すパラボラアンテナの特性について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、パラボラアンテナの開口直径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、開口角を\(\,\theta\,[\mathrm{^\circ}]\,\)、焦点距離を\(\,f\,[\mathrm{m}]\,\)、開口効率を\(\,\eta\,\)及び波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とする。
- \(\theta\,\)と\(\,D\,\)と\(\,f\,\)の関係は、\(\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)と表される。
- 絶対利得(真数)は、\(\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)と表される。
- 指向性の半値幅\(\,[\mathrm{^\circ}]\,\)は、\(\lambda\,\)に\(\,\boxed{\quad\text{C}\quad}\,\)、\(D\,\)に\(\,\boxed{\quad\text{D}\quad}\,\)する。
解法
開口直径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、指向性の半値幅\(\,\phi\,[\mathrm{^\circ}]\,\)は近似的に次式で表される。
\[ \phi\fallingdotseq 70\cfrac{\lambda}{D}\,[\mathrm{^\circ}] \]開口直径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、開口面積を\(\,A\,[\mathrm{m^2}]\,\)とすると、絶対利得\(\,G_I\,\)は近似的に次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} G_I&=&\cfrac{4\pi A}{\lambda^2}\eta \\ &=&\cfrac{4\pi}{\lambda^2}\times\pi\left(\cfrac D2\right)^2\eta \\ &=&\left(\cfrac{\pi D}{\lambda}\right)^2\eta \end{eqnarray} \]答え…1
R5.1(2) A-12
図に示す円形パラボラアンテナの断面図の開口角\(\,2\theta\,[\mathrm{rad}]\,\)と開口面の直径\(\,2r\,[\mathrm{m}]\,\)及び焦点距離\(\,f\,[\mathrm{m}]\,\)との関係を表す式として、正しいものを下の番号から選べ。ただし、\(\theta\,\)について、次式が成り立つ。
\[ \tan\frac{\theta}2=(1+\cot^2\theta)^{1/2}-cot\theta \]解法
回転放物面上の任意の点を\(\,(x_1,y_1)\,\)とし、一次放射器を頂点とした任意の点\(\,(x_1,y_1)\,\)と\(\,x\,\)軸との狭角を\(\,\theta_1\,\)とすると
\[ \tan\theta_1=\cfrac{y_1}{f-x_1} \]反射鏡は放物面で構成されているので、次式の関係がある。
\[ y^2=4fx \]任意の点をアンテナの縁とすると、\(\theta_1=\theta\,\)、\(x_1=x\,\)、\(y_1=r\,\)なので、代入して、
\[ \begin{eqnarray} r^2&=&4fx \\ x&=&\cfrac{r^2}{4f} \\ \tan\theta&=&\cfrac r{f-x} \\ &=&\cfrac r{f-\frac{r^2}{4f}} \\ &=&\cfrac{4fr}{4f^2-r^2} \\ \cot\theta&=&\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \end{eqnarray} \]問題で与えられた式に代入すると
\[ \begin{eqnarray} \tan\frac{\theta}2&=&\left\{1+\left(\cfrac{4f^2-r^2}{4fr}\right)^2\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{(4fr)^2+(4f^2-r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{16f^2r^2+(4f^2)^2-8f^2r^2+(r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{8f^2r^2+(4f^2)^2+(r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{(4f^2)^2+8f^2r^2+(r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{(4f^2+r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\cfrac{4f^2+r^2}{4fr}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\cfrac{2r^2}{4fr} \\ &=&\cfrac r{2f} \end{eqnarray} \]…ということですが、覚えるのが早そうです。
答え…4
R4.1(2) A-13
図に示す円形パラボラアンテナの断面図の開口角\(\,2\theta\,[\mathrm{rad}]\,\)と開口面の直径\(\,2r\,[\mathrm{m}]\,\)及び焦点距離\(\,f\,[\mathrm{m}]\,\)との関係を表す式として、正しいものを下の番号から選べ。ただし、\(\theta\,\)について、次式が成り立つ。
\[ \tan\frac{\theta}2=(1+\cot^2\theta)^{1/2}-cot\theta \]解法
回転放物面上の任意の点を\(\,(x_1,y_1)\,\)とし、一次放射器を頂点とした任意の点\(\,(x_1,y_1)\,\)と\(\,x\,\)軸との狭角を\(\,\theta_1\,\)とすると
\[ \tan\theta_1=\cfrac{y_1}{f-x_1} \]反射鏡は放物面で構成されているので、次式の関係がある。
\[ y^2=4fx \]任意の点をアンテナの縁とすると、\(\theta_1=\theta\,\)、\(x_1=x\,\)、\(y_1=r\,\)なので、代入して、
\[ \begin{eqnarray} r^2&=&4fx \\ x&=&\cfrac{r^2}{4f} \\ \tan\theta&=&\cfrac r{f-x} \\ &=&\cfrac r{f-\frac{r^2}{4f}} \\ &=&\cfrac{4fr}{4f^2-r^2} \\ \cot\theta&=&\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \end{eqnarray} \]問題で与えられた式に代入すると
\[ \begin{eqnarray} \tan\frac{\theta}2&=&\left\{1+\left(\cfrac{4f^2-r^2}{4fr}\right)^2\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{(4fr)^2+(4f^2-r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{16f^2r^2+(4f^2)^2-8f^2r^2+(r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{8f^2r^2+(4f^2)^2+(r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{(4f^2)^2+8f^2r^2+(r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{(4f^2+r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\cfrac{4f^2+r^2}{4fr}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\cfrac{2r^2}{4fr} \\ &=&\cfrac r{2f} \end{eqnarray} \]…ということですが、覚えるのが早そうです。
答え…5
R4.1(1) A-12
次の記述は、図に示すパラボラアンテナの特性について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、パラボラアンテナの開口直径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、開口面積を\(\,A\,[\mathrm{m^2}]\,\)、実効面積を\(\,A_e\,[\mathrm{m^2}]\,\)、開口角を\(\,\theta\,[\mathrm{^\circ}]\,\)、焦点距離を\(\,f\,[\mathrm{m}]\,\)、開口効率を\(\,\eta\,\)及び波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とする。
- 開口効率\(\,\eta\,\)は、\(\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)と表される。
- (1)より、絶対利得(真数)は、\(\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)と表される。
- 指向性の半値幅は、\(\lambda\,\)に\(\,\boxed{\quad\text{C}\quad}\,\)、\(D\,\)に\(\,\boxed{\quad\text{D}\quad}\,\)する。
解法
開口効率\(\,\eta\,\)は1を上回ることはないと思われるので、\({A_e}/A\,\)。
開口直径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、開口面積を\(\,A\,[\mathrm{m^2}]\,\)とすると、絶対利得\(\,G_I\,\)は近似的に次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} G_I&=&\cfrac{4\pi A}{\lambda^2}\eta \\ &=&\cfrac{4\pi}{\lambda^2}\times\pi\left(\cfrac D2\right)^2\eta \\ &=&\left(\cfrac{\pi D}{\lambda}\right)^2\eta \end{eqnarray} \]開口直径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、指向性の半値幅\(\,\phi\,[\mathrm{^\circ}]\,\)は近似的に次式で表される。
\[ \phi\fallingdotseq 70\cfrac{\lambda}{D}\,[\mathrm{^\circ}] \]これより波長\(\,\lambda\,\)に比例し、開口直径\(D\,\)に反比例。
類似する他の問題もあるので、2つの式は覚えないとなりません。
答え…4
R3.1(1) A-13
図に示す円形パラボラアンテナの断面図の開口角\(\,2\theta\,[\mathrm{rad}]\,\)と開口面の直径\(\,2r\,[\mathrm{m}]\,\)及び焦点距離\(\,f\,[\mathrm{m}]\,\)との関係を表す式として、正しいものを下の番号から選べ。ただし、\(\theta\,\)について、次式が成り立つ。
\[ \tan\frac{\theta}2=(1+\cot^2\theta)^{1/2}-cot\theta \]解法
回転放物面上の任意の点を\(\,(x_1,y_1)\,\)とし、一次放射器を頂点とした任意の点\(\,(x_1,y_1)\,\)と\(\,x\,\)軸との狭角を\(\,\theta_1\,\)とすると
\[ \tan\theta_1=\cfrac{y_1}{f-x_1} \]反射鏡は放物面で構成されているので、次式の関係がある。
\[ y^2=4fx \]任意の点をアンテナの縁とすると、\(\theta_1=\theta\,\)、\(x_1=x\,\)、\(y_1=r\,\)なので、代入して、
\[ \begin{eqnarray} r^2&=&4fx \\ x&=&\cfrac{r^2}{4f} \\ \tan\theta&=&\cfrac r{f-x} \\ &=&\cfrac r{f-\frac{r^2}{4f}} \\ &=&\cfrac{4fr}{4f^2-r^2} \\ \cot\theta&=&\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \end{eqnarray} \]問題で与えられた式に代入すると
\[ \begin{eqnarray} \tan\frac{\theta}2&=&\left\{1+\left(\cfrac{4f^2-r^2}{4fr}\right)^2\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{(4fr)^2+(4f^2-r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{16f^2r^2+(4f^2)^2-8f^2r^2+(r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{8f^2r^2+(4f^2)^2+(r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{(4f^2)^2+8f^2r^2+(r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{(4f^2+r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\cfrac{4f^2+r^2}{4fr}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\cfrac{2r^2}{4fr} \\ &=&\cfrac r{2f} \end{eqnarray} \]…ということですが、覚えるのが早そうです。
答え…3
R2.11(2) A-12
次の記述は、図に示すパラボラアンテナの特性について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、パラボラアンテナの開口直径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、開口角を\(\,\theta\,[\mathrm{^\circ}]\,\)、焦点距離を\(\,f\,[\mathrm{m}]\,\)、開口効率を\(\,\eta\,\)及び波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とする。
- \(\theta\,\)と\(\,D\,\)と\(\,f\,\)の関係は、\(\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)と表される。
- 絶対利得(真数)は、\(\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)と表される。
- 指向性の半値幅\(\,[\mathrm{^\circ}]\,\)は、\(\lambda\,\)に\(\,\boxed{\quad\text{C}\quad}\,\)、\(D\,\)に\(\,\boxed{\quad\text{D}\quad}\,\)する。
解法
開口直径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、指向性の半値幅\(\,\phi\,[\mathrm{^\circ}]\,\)は近似的に次式で表される。
\[ \phi\fallingdotseq 70\cfrac{\lambda}{D}\,[\mathrm{^\circ}] \]開口直径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、開口面積を\(\,A\,[\mathrm{m^2}]\,\)とすると、絶対利得\(\,G_I\,\)は近似的に次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} G_I&=&\cfrac{4\pi A}{\lambda^2}\eta \\ &=&\cfrac{4\pi}{\lambda^2}\times\pi\left(\cfrac D2\right)^2\eta \\ &=&\left(\cfrac{\pi D}{\lambda}\right)^2\eta \end{eqnarray} \]答え…3
H29.7 A-11
次の記述は、図に示すパラボラアンテナの特性について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、パラボラアンテナの開口直径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、開口角を\(\,\theta\,[\mathrm{^\circ}]\,\)、焦点距離を\(\,f\,[\mathrm{m}]\,\)、開口効率を\(\,\eta\,\)及び波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とする。
- \(\theta\,\)と\(\,D\,\)と\(\,f\,\)の関係は、\(\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)と表される。
- 指向性の半値幅\(\,[\mathrm{^\circ}]\,\)は、\(\lambda\,\)に\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)、\(D\,\)に\(\,\boxed{\quad\text{C}\quad}\,\)する。
- 絶対利得(真数)は、\(\boxed{\quad\text{D}\quad}\,\)と表される。
解法
開口直径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、指向性の半値幅\(\,\phi\,[\mathrm{^\circ}]\,\)は近似的に次式で表される。
\[ \phi\fallingdotseq 70\cfrac{\lambda}{D}\,[\mathrm{^\circ}] \]開口直径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、開口面積を\(\,A\,[\mathrm{m^2}]\,\)とすると、絶対利得\(\,G_I\,\)は近似的に次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} G_I&=&\cfrac{4\pi A}{\lambda^2}\eta \\ &=&\cfrac{4\pi}{\lambda^2}\times\pi\left(\cfrac D2\right)^2\eta \\ &=&\left(\cfrac{\pi D}{\lambda}\right)^2\eta \end{eqnarray} \]答え…5
H28.7 A-11
図に示す円形パラボラアンテナの断面図の開口角\(\,2\theta\,[\mathrm{rad}]\,\)と開口面の直径\(\,2r\,[\mathrm{m}]\,\)及び焦点距離\(\,f\,[\mathrm{m}]\,\)との関係を表す式として、正しいものを下の番号から選べ。ただし、\(\theta\,\)について、次式が成り立つ。
\[ \tan\frac{\theta}2=(1+\cot^2\theta)^{1/2}-cot\theta \]解法
回転放物面上の任意の点を\(\,(x_1,y_1)\,\)とし、一次放射器を頂点とした任意の点\(\,(x_1,y_1)\,\)と\(\,x\,\)軸との狭角を\(\,\theta_1\,\)とすると
\[ \tan\theta_1=\cfrac{y_1}{f-x_1} \]反射鏡は放物面で構成されているので、次式の関係がある。
\[ y^2=4fx \]任意の点をアンテナの縁とすると、\(\theta_1=\theta\,\)、\(x_1=x\,\)、\(y_1=r\,\)なので、代入して、
\[ \begin{eqnarray} r^2&=&4fx \\ x&=&\cfrac{r^2}{4f} \\ \tan\theta&=&\cfrac r{f-x} \\ &=&\cfrac r{f-\frac{r^2}{4f}} \\ &=&\cfrac{4fr}{4f^2-r^2} \\ \cot\theta&=&\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \end{eqnarray} \]問題で与えられた式に代入すると
\[ \begin{eqnarray} \tan\frac{\theta}2&=&\left\{1+\left(\cfrac{4f^2-r^2}{4fr}\right)^2\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{(4fr)^2+(4f^2-r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{16f^2r^2+(4f^2)^2-8f^2r^2+(r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{8f^2r^2+(4f^2)^2+(r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{(4f^2)^2+8f^2r^2+(r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\left\{\cfrac{(4f^2+r^2)^2}{(4fr)^2}\right\}^{\frac12}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\cfrac{4f^2+r^2}{4fr}-\cfrac{4f^2-r^2}{4fr} \\ &=&\cfrac{2r^2}{4fr} \\ &=&\cfrac r{2f} \end{eqnarray} \]…ということですが、覚えるのが早そうです。