R5.7(1) A-7
内部導体の外径が\(\,2\,[\mathrm{mm}]\,\)、外部導体の内径が\(\,16\,[\mathrm{mm}]\,\)の同軸線路の特性インピーダンスが\(\,75\,[\mathrm{\Omega}]\,\)であった。この同軸線路の内部導体の外径を1/2倍にしたときの特性インピーダンスの値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、内部導体と外部導体の間には、同一の誘電体が充填されているものとする。
解法
同軸線路の特性インピーダンス\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、内部導体の外径を\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)、外部導体の内径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、次式で与えられる。
\[ Z_0=\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{D}d\,[\mathrm{\Omega}] \]内部導体の外径が\(\,2\,[\mathrm{mm}]\,\)のときの特性インピーダンスは\(\,75\,[\mathrm{\Omega}]\,\)と与えられているので
\[ \begin{eqnarray} 75&=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{16\times10^{-3}}{2\times10^{-3}} \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{16}2 \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}8 \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2^3 \\ &=&3\times\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2 \\ \cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2&=&\cfrac{75}3 \\ &=&25\cdots\text{①} \end{eqnarray} \]一方、内部導体の外径を1/2倍にした場合、特性インピーダンスを\(\,{Z_0}'\,[\mathrm{\Omega}]\,\)とすると
\[ \begin{eqnarray} {Z_0}'&=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{D}{\frac12d} \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{16\times10^{-3}}{\frac12\times2\times10^{-3}} \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}16 \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2^4 \\ &=&4\times\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2 \end{eqnarray} \]ここで、①より\(\,\frac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2=25\,\)なので
\[ \begin{eqnarray} {Z_0}'&=&4\times25 \\ &=&100\,[\mathrm{\Omega}] \end{eqnarray} \]答え…4
R3.7(2) A-6
内部導体の外径が\(\,2\,[\mathrm{mm}]\,\)、外部導体の内径が\(\,8\,[\mathrm{mm}]\,\)の同軸線路の特性インピーダンスが\(\,50\,[\mathrm{\Omega}]\,\)であった。この同軸線路の外部導体の内径を2倍にしたときの特性インピーダンスの値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、内部導体と外部導体の間には、同一の誘電体が充填されているものとする。
解法
同軸線路の特性インピーダンス\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、内部導体の外径を\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)、外部導体の内径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、次式で与えられる。
\[ Z_0=\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{D}d\,[\mathrm{\Omega}] \]内部導体の外径が\(\,2\,[\mathrm{mm}]\,\)のときの特性インピーダンスは\(\,50\,[\mathrm{\Omega}]\,\)と与えられているので
\[ \begin{eqnarray} 50&=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{8\times10^{-3}}{2\times10^{-3}} \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2^2 \\ &=&2\times\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2 \\ \cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2&=&\cfrac{50}2 \\ &=&25\cdots\text{①} \end{eqnarray} \]一方、外部導体の内径を2倍にした場合、特性インピーダンスを\(\,{Z_0}'\,[\mathrm{\Omega}]\,\)とすると
\[ \begin{eqnarray} {Z_0}'&=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{2D}{d} \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{2\times8\times10^{-3}}{2\times10^{-3}} \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}8 \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2^3 \\ &=&3\times\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2 \\ \end{eqnarray} \]ここで、①より\(\,\frac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2=25\,\)なので
\[ \begin{eqnarray} {Z_0}'&=&3\times25 \\ &=&75\,[\mathrm{\Omega}] \end{eqnarray} \]答え…5
R2.11(2) A-7
内部導体の外径が\(\,2\,[\mathrm{mm}]\,\)、外部導体の内径が\(\,16\,[\mathrm{mm}]\,\)の同軸線路の特性インピーダンスが\(\,75\,[\mathrm{\Omega}]\,\)であった。この同軸線路の内部導体の外径を2倍にしたときの特性インピーダンスの値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、内部導体と外部導体の間には、同一の誘電体が充填されているものとする。
解法
同軸線路の特性インピーダンス\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、内部導体の外径を\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)、外部導体の内径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、次式で与えられる。
\[ Z_0=\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{D}d\,[\mathrm{\Omega}] \]内部導体の外径が\(\,2\,[\mathrm{mm}]\,\)のときの特性インピーダンスは\(\,75\,[\mathrm{\Omega}]\,\)と与えられているので
\[ \begin{eqnarray} 75&=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{16\times10^{-3}}{2\times10^{-3}} \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{16}2 \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}8 \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2^3 \\ &=&3\times\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2 \\ \cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2&=&\cfrac{75}3 \\ &=&25\cdots\text{①} \end{eqnarray} \]一方、内部導体の外径を2倍にした場合、特性インピーダンスを\(\,{Z_0}'\,[\mathrm{\Omega}]\,\)とすると
\[ \begin{eqnarray} {Z_0}'&=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{D}{2d} \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{16\times10^{-3}}{2\times2\times10^{-3}} \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{16}4 \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}4 \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2^2 \\ &=&2\times\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2 \end{eqnarray} \]ここで、①より\(\,\frac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2=25\,\)なので
\[ \begin{eqnarray} {Z_0}'&=&2\times25 \\ &=&50\,[\mathrm{\Omega}] \end{eqnarray} \]答え…3
R1.7 A-7
内部導体の外径が\(\,4\,[\mathrm{mm}]\,\)、外部導体の内径が\(\,16\,[\mathrm{mm}]\,\)の同軸線路の特性インピーダンスが\(\,50\,[\mathrm{\Omega}]\,\)であった。この同軸線路の外部導体の内径を2倍にしたときの特性インピーダンスの値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、内部導体と外部導体の間には、同一の誘電体が充填されているものとする。
解法
同軸線路の特性インピーダンス\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、内部導体の外径を\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)、外部導体の内径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、次式で与えられる。
\[ Z_0=\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{D}d\,[\mathrm{\Omega}] \]外部導体の内径が\(\,16\,[\mathrm{mm}]\,\)のときの特性インピーダンスは\(\,50\,[\mathrm{\Omega}]\,\)と与えられているので
\[ \begin{eqnarray} 50&=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{16\times10^{-3}}{4\times10^{-3}} \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{16}4 \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}4 \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2^2 \\ &=&2\times\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2 \\ \cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2&=&\cfrac{50}2 \\ &=&25\cdots\text{①} \end{eqnarray} \]一方、外部導体の内径を2倍にした場合、特性インピーダンスを\(\,{Z_0}'\,[\mathrm{\Omega}]\,\)とすると
\[ \begin{eqnarray} {Z_0}'&=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{2D}{d} \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{2\times16\times10^{-3}}{4\times10^{-3}} \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{2\times16}4 \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}8 \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2^3 \\ &=&3\times\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2 \end{eqnarray} \]ここで、①より\(\,\frac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2=25\,\)なので
\[ \begin{eqnarray} {Z_0}'&=&3\times25 \\ &=&75\,[\mathrm{\Omega}] \end{eqnarray} \]答え…4
H30.1 A-7
内部導体の外径が\(\,2\,[\mathrm{mm}]\,\)、外部導体の内径が\(\,16\,[\mathrm{mm}]\,\)の同軸線路の特性インピーダンスが\(\,75\,[\mathrm{\Omega}]\,\)であった。この同軸線路の外部導体の内径を1/2倍にしたときの特性インピーダンスの値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、内部導体と外部導体の間には、同一の誘電体が充填されているものとする。
解法
同軸線路の特性インピーダンス\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、内部導体の外径を\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)、外部導体の内径を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、次式で与えられる。
\[ Z_0=\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{D}d\,[\mathrm{\Omega}] \]外部導体の内径が\(\,16\,[\mathrm{mm}]\,\)のときの特性インピーダンスは\(\,75\,[\mathrm{\Omega}]\,\)と与えられているので
\[ \begin{eqnarray} 75&=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{16\times10^{-3}}{2\times10^{-3}} \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{16}2 \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}8 \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2^3 \\ &=&3\times\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2 \\ \cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2&=&\cfrac{75}3 \\ &=&25\cdots\text{①} \end{eqnarray} \]一方、外部導体の内径を1/2倍にした場合、特性インピーダンスを\(\,{Z_0}'\,[\mathrm{\Omega}]\,\)とすると
\[ \begin{eqnarray} {Z_0}'&=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{\frac12D}{d} \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{\frac12\times16\times10^{-3}}{2\times10^{-3}} \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}\cfrac{8}2 \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}4 \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2^2 \\ &=&2\times\cfrac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2 \end{eqnarray} \]ここで、①より\(\,\frac{138}{\sqrt\varepsilon_0}\log_{10}2=25\,\)なので
\[ \begin{eqnarray} {Z_0}'&=&2\times25 \\ &=&50\,[\mathrm{\Omega}] \end{eqnarray} \]