R5.7(1) B-2
次の記述は、図に示すように、無損失の平行二線式給電線の終端\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)の距離にある入力端から負荷側を見たインピーダンス\(\,Z\,[\mathrm{\Omega}]\,\)について述べたものである。このうち正しいものを1、誤っているものを2として解答せよ。ただし、終端における電圧を\(\,V_r\,[\mathrm{V}]\,\)、電流を\(\,I_r\,[\mathrm{A}]\,\)、負荷インピーダンスを\(\,Z_r\,[\mathrm{\Omega}]\,\)とし、無損失の平行二線式給電線の特性インピーダンスを\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)、位相定数を\(\,\beta\,[\mathrm{rad/m}]\,\)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、入力端における電圧\(\,V\,\)と電流\(\,I\,\)は、次式で表されるものとする。
\[ \begin{eqnarray} V&=&V_r\cos\beta l+jZ_0I_r\sin\beta l\,[\mathrm{V}] \\ I&=&I_r\cos\beta l+j(V_r/Z_0)\sin\beta l\,[\mathrm{A}] \end{eqnarray} \]- \(l=\lambda/2\,\)のとき、\(Z\,\)は\(\,Z_r\,\)と等しい。
- \(l=\lambda/4\,\)のとき、\(Z\,\)は\(\,Z_0^2/Z_r\,\)と等しい。
- 周波数が\(\,10\,[\mathrm{MHz}]\,\)で\(\,l=37.5\,[\mathrm{m}]\,\)のとき、\(Z\,\)は\(\,Z_r\,\)と等しい。
- \(Z_r=\infty\,\)(終端開放)のとき、\(Z\,\)は\(\,-jZ_0\cot\beta l\,\)と表される。
- \(Z_r=0\,\)(終端短絡)のとき、\(Z\,\)は\(\,jZ_0\cot\beta l\,\)と表される。
解法
終端から\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)の距離にある入力端から負荷側を見たインピーダンス\(\,\dot Z\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、次式で表される。
\[ \dot Z=\cfrac{\dot V}{\dot I} \]代入して
\[ \begin{eqnarray} \dot Z&=&\cfrac{\dot {V_r}\cos\beta l+jZ_0\dot {I_r}\sin\beta l}{\dot {I_r}\cos\beta l+j(\dot {V_r}/Z_0)\sin\beta l} \\ &=&\cfrac{Z_0\dot {V_r}\cos\beta l+j{Z_0}^2\dot {I_r}\sin\beta l}{Z_0\dot {I_r}\cos\beta l+j\dot {V_r}\sin\beta l} \\ &=&\cfrac{Z_0(\dot {V_r}/\dot {I_r})\cos\beta l+j{Z_0}^2\sin\beta l}{Z_0\cos\beta l+j\dot {V_r}/\dot {I_r}\sin\beta l} \\ &=&\cfrac{Z_0\dot {Z_r}\cos\beta l+j{Z_0}^2\sin\beta l}{Z_0\cos\beta l+j\dot {Z_r}\sin\beta l} \\ &=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\cos\beta l+jZ_0\sin\beta l}{Z_0\cos\beta l+j\dot {Z_r}\sin\beta l} \end{eqnarray} \]位相定数\(\,\beta=2\pi/\lambda\,\)として、\(l=\lambda/2\,\)のとき、\(\beta l=\pi\,\)なので、
\[ \begin{eqnarray} \dot Z&=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\cos\pi+jZ_0\sin\pi}{Z_0\cos\pi+j\dot {Z_r}\sin\pi} \\ &=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\times 1+jZ_0\times 0}{Z_0\times 1+j\dot {Z_r}\times 0} \\ &=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}}{Z_0} \\ &=&\dot {Z_r}\cdots\text{ア} \end{eqnarray} \]位相定数\(\,\beta=2\pi/\lambda\,\)として、\(l=\lambda/4\,\)のとき、\(\beta l=\pi/2\,\)なので、
\[ \begin{eqnarray} \dot Z&=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\cos\pi/2+jZ_0\sin\pi/2}{Z_0\cos\pi/2+j\dot {Z_r}\sin\pi/2} \\ &=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\times 0+jZ_0\times 1}{Z_0\times 0+j\dot {Z_r}\times 1} \\ &=&Z_0\cfrac{jZ_0}{j\dot {Z_r}} \\ &=&\cfrac{{Z_0}^2}{\dot {Z_r}}\cdots\text{イ} \end{eqnarray} \]位相定数\(\,\beta=2\pi/\lambda\,\)として、周波数が\(\,10\,[\mathrm{MHz}]\,\)、\(l=37.5\,[\mathrm{m}]\,\)のとき、
\[ \begin{eqnarray} \beta l&=&\cfrac{2\pi\times37.5}{300/10} \\ &=&\cfrac{2\pi\times37.5}{30} \\ &=&\cfrac{\pi\times37.5}{15} \\ &=&\cfrac{\pi\times7.5}{3} \\ &=&2.5\pi \end{eqnarray} \]\(2.5\pi=2\pi+\pi/2\,\)で、\(\sin 2.5\pi=\sin \pi/2\,\)、\(\cos 2.5\pi=\cos \pi/2\,\)なので、ウはイの設問と同意になる。
終端開放の場合、\(\cot\,\)、終端短絡の場合、\(\tan\,\)。これは覚えましょう。
参考までに計算すると、\(\dot {Z_r}=\infty\,\)のとき、
\[ \begin{eqnarray} \dot Z&=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\cos\beta l+jZ_0\sin\beta l}{Z_0\cos\beta l+j\dot {Z_r}\sin\beta l} \\ &=&Z_0\cfrac{\cos\beta l+j(Z_0/\dot {Z_r})\sin\beta l}{(Z_0/\dot {Z_r})\cos\beta l+j\sin\beta l} \\ &=&Z_0\cfrac{\cos\beta l+j\times 0\times\sin\beta l}{0\times\cos\beta l+j\sin\beta l} \\ &=&Z_0\cfrac{\cos\beta l}{j\sin\beta l} \\ &=&Z_0\cfrac{j\cos\beta l}{j^2\sin\beta l} \\ &=&Z_0\cfrac{j\cos\beta l}{(-1)\sin\beta l} \\ &=&-jZ_0\cot\beta l \end{eqnarray} \]\(Z_r=0\,\)のとき、
\[ \begin{eqnarray} \dot Z&=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\cos\beta l+jZ_0\sin\beta l}{Z_0\cos\beta l+j\dot {Z_r}\sin\beta l} \\ &=&Z_0\cfrac{0\times\cos\beta l+jZ_0\sin\beta l}{Z_0\cos\beta l+j\times0\times\sin\beta l} \\ &=&Z_0\cfrac{jZ_0\sin\beta l}{Z_0\cos\beta l} \\ &=&jZ_0\tan\beta l \end{eqnarray} \]答え…ア-1 イ-1 ウ-2 エ-1 オ-2
R2.11(1) B-3
次の記述は、図に示すように、無損失の平行二線式給電線の終端\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)の距離にある入力端から負荷側を見たインピーダンス\(\,Z\,[\mathrm{\Omega}]\,\)について述べたものである。このうち正しいものを1、誤っているものを2として解答せよ。ただし、終端における電圧を\(\,V_r\,[\mathrm{V}]\,\)、電流を\(\,I_r\,[\mathrm{A}]\,\)、負荷インピーダンスを\(\,Z_r\,[\mathrm{\Omega}]\,\)とし、無損失の平行二線式給電線の特性インピーダンスを\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)、位相定数を\(\,\beta\,[\mathrm{rad/m}]\,\)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、入力端における電圧\(\,V\,\)と電流\(\,I\,\)は、次式で表されるものとする。
\[ \begin{eqnarray} V&=&V_r\cos\beta l+jZ_0I_r\sin\beta l\,[\mathrm{V}] \\ I&=&I_r\cos\beta l+j(V_r/Z_0)\sin\beta l\,[\mathrm{A}] \end{eqnarray} \]- \(l=\lambda/4\,\)のとき、\(Z\,\)は\(\,Z_r\,\)と等しい。
- \(l=\lambda/2\,\)のとき、\(Z\,\)は\(\,Z_0^2/Z_r\,\)と等しい。
- 周波数が\(\,10\,[\mathrm{MHz}]\,\)で\(\,l=37.5\,[\mathrm{m}]\,\)のとき、\(Z\,\)は\(\,Z_r\,\)と等しい。
- \(Z_r=\infty\,\)(終端開放)のとき、\(Z\,\)は\(\,-jZ_0\cot\beta l\,\)と表される。
- \(Z_r=0\,\)(終端短絡)のとき、\(Z\,\)は\(\,-jZ_0\tan\beta l\,\)と表される。
解法
終端から\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)の距離にある入力端から負荷側を見たインピーダンス\(\,\dot Z\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、次式で表される。
\[ \dot Z=\cfrac{\dot V}{\dot I} \]代入して
\[ \begin{eqnarray} \dot Z&=&\cfrac{\dot {V_r}\cos\beta l+jZ_0\dot {I_r}\sin\beta l}{\dot {I_r}\cos\beta l+j(\dot {V_r}/Z_0)\sin\beta l} \\ &=&\cfrac{Z_0\dot {V_r}\cos\beta l+j{Z_0}^2\dot {I_r}\sin\beta l}{Z_0\dot {I_r}\cos\beta l+j\dot {V_r}\sin\beta l} \\ &=&\cfrac{Z_0(\dot {V_r}/\dot {I_r})\cos\beta l+j{Z_0}^2\sin\beta l}{Z_0\cos\beta l+j\dot {V_r}/\dot {I_r}\sin\beta l} \\ &=&\cfrac{Z_0\dot {Z_r}\cos\beta l+j{Z_0}^2\sin\beta l}{Z_0\cos\beta l+j\dot {Z_r}\sin\beta l} \\ &=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\cos\beta l+jZ_0\sin\beta l}{Z_0\cos\beta l+j\dot {Z_r}\sin\beta l} \end{eqnarray} \]位相定数\(\,\beta=2\pi/\lambda\,\)として、\(l=\lambda/4\,\)のとき、\(\beta l=\pi/2\,\)なので、
\[ \begin{eqnarray} \dot Z&=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\cos\pi/2+jZ_0\sin\pi/2}{Z_0\cos\pi/2+j\dot {Z_r}\sin\pi/2} \\ &=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\times 0+jZ_0\times 1}{Z_0\times 0+j\dot {Z_r}\times 1} \\ &=&Z_0\cfrac{jZ_0}{j\dot {Z_r}} \\ &=&\cfrac{{Z_0}^2}{\dot {Z_r}}\cdots\text{ア} \end{eqnarray} \]位相定数\(\,\beta=2\pi/\lambda\,\)として、\(l=\lambda/2\,\)のとき、\(\beta l=\pi\,\)なので、
\[ \begin{eqnarray} \dot Z&=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\cos\pi+jZ_0\sin\pi}{Z_0\cos\pi+j\dot {Z_r}\sin\pi} \\ &=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\times 1+jZ_0\times 0}{Z_0\times 1+j\dot {Z_r}\times 0} \\ &=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}}{Z_0} \\ &=&\dot {Z_r}\cdots\text{イ} \end{eqnarray} \]位相定数\(\,\beta=2\pi/\lambda\,\)として、周波数が\(\,10\,[\mathrm{MHz}]\,\)、\(l=37.5\,[\mathrm{m}]\,\)のとき、
\[ \begin{eqnarray} \beta l&=&\cfrac{2\pi\times37.5}{300/10} \\ &=&\cfrac{2\pi\times37.5}{30} \\ &=&\cfrac{\pi\times37.5}{15} \\ &=&\cfrac{\pi\times7.5}{3} \\ &=&2.5\pi \end{eqnarray} \]\(2.5\pi=2\pi+\pi/2\,\)で、\(\sin 2.5\pi=\sin \pi/2\,\)、\(\cos 2.5\pi=\cos \pi/2\,\)なので、ウはアの設問と同意になる。
終端開放の場合、\(\cot\,\)、終端短絡の場合、\(\tan\,\)。これは覚えましょう。
参考までに計算すると、\(\dot {Z_r}=\infty\,\)のとき、
\[ \begin{eqnarray} \dot Z&=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\cos\beta l+jZ_0\sin\beta l}{Z_0\cos\beta l+j\dot {Z_r}\sin\beta l} \\ &=&Z_0\cfrac{\cos\beta l+j(Z_0/\dot {Z_r})\sin\beta l}{(Z_0/\dot {Z_r})\cos\beta l+j\sin\beta l} \\ &=&Z_0\cfrac{\cos\beta l+j\times 0\times\sin\beta l}{0\times\cos\beta l+j\sin\beta l} \\ &=&Z_0\cfrac{\cos\beta l}{j\sin\beta l} \\ &=&Z_0\cfrac{j\cos\beta l}{j^2\sin\beta l} \\ &=&Z_0\cfrac{j\cos\beta l}{(-1)\sin\beta l} \\ &=&-jZ_0\cot\beta l \end{eqnarray} \]\(Z_r=0\,\)のとき、
\[ \begin{eqnarray} \dot Z&=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\cos\beta l+jZ_0\sin\beta l}{Z_0\cos\beta l+j\dot {Z_r}\sin\beta l} \\ &=&Z_0\cfrac{0\times\cos\beta l+jZ_0\sin\beta l}{Z_0\cos\beta l+j\times0\times\sin\beta l} \\ &=&Z_0\cfrac{jZ_0\sin\beta l}{Z_0\cos\beta l} \\ &=&jZ_0\tan\beta l \end{eqnarray} \]答え…ア-2 イ-2 ウ-2 エ-1 オ-1
H31.1 B-1
次の記述は、図に示すように、無損失の平行二線式給電線の終端\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)の距離にある入力端から負荷側を見たインピーダンス\(\,Z\,[\mathrm{\Omega}]\,\)について述べたものである。このうち正しいものを1、誤っているものを2として解答せよ。ただし、終端における電圧を\(\,V_r\,[\mathrm{V}]\,\)、電流を\(\,I_r\,[\mathrm{A}]\,\)、負荷インピーダンスを\(\,Z_r\,[\mathrm{\Omega}]\,\)とし、無損失の平行二線式給電線の特性インピーダンスを\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)、位相定数を\(\,\beta\,[\mathrm{rad/m}]\,\)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、入力端における電圧\(\,V\,\)と電流\(\,I\,\)は、次式で表されるものとする。
\[ \begin{eqnarray} V&=&V_r\cos\beta l+jZ_0I_r\sin\beta l\,[\mathrm{V}] \\ I&=&I_r\cos\beta l+j(V_r/Z_0)\sin\beta l\,[\mathrm{A}] \end{eqnarray} \]- \(l=\lambda/4\,\)のとき、\(Z\,\)は\(\,Z_0^2/Z_r\,\)と等しい。
- \(l=\lambda/2\,\)のとき、\(Z\,\)は\(\,Z_r\,\)と等しい。
- 周波数が\(\,30\,[\mathrm{MHz}]\,\)で\(\,l=40\,[\mathrm{m}]\,\)のとき、\(Z\,\)は\(\,Z_r\,\)と等しい。
- \(Z_r=\infty\,\)(終端開放)のとき、\(Z\,\)は\(\,-jZ_0\tan\beta l\,\)と表される。
- \(Z_r=0\,\)(終端短絡)のとき、\(Z\,\)は\(\,-jZ_0\cot\beta l\,\)と表される。
解法
終端から\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)の距離にある入力端から負荷側を見たインピーダンス\(\,\dot Z\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、次式で表される。
\[ \dot Z=\cfrac{\dot V}{\dot I} \]代入して
\[ \begin{eqnarray} \dot Z&=&\cfrac{\dot {V_r}\cos\beta l+jZ_0\dot {I_r}\sin\beta l}{\dot {I_r}\cos\beta l+j(\dot {V_r}/Z_0)\sin\beta l} \\ &=&\cfrac{Z_0\dot {V_r}\cos\beta l+j{Z_0}^2\dot {I_r}\sin\beta l}{Z_0\dot {I_r}\cos\beta l+j\dot {V_r}\sin\beta l} \\ &=&\cfrac{Z_0(\dot {V_r}/\dot {I_r})\cos\beta l+j{Z_0}^2\sin\beta l}{Z_0\cos\beta l+j\dot {V_r}/\dot {I_r}\sin\beta l} \\ &=&\cfrac{Z_0\dot {Z_r}\cos\beta l+j{Z_0}^2\sin\beta l}{Z_0\cos\beta l+j\dot {Z_r}\sin\beta l} \\ &=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\cos\beta l+jZ_0\sin\beta l}{Z_0\cos\beta l+j\dot {Z_r}\sin\beta l} \end{eqnarray} \]位相定数\(\,\beta=2\pi/\lambda\,\)として、\(l=\lambda/4\,\)のとき、\(\beta l=\pi/2\,\)なので、
\[ \begin{eqnarray} \dot Z&=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\cos\pi/2+jZ_0\sin\pi/2}{Z_0\cos\pi/2+j\dot {Z_r}\sin\pi/2} \\ &=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\times 0+jZ_0\times 1}{Z_0\times 0+j\dot {Z_r}\times 1} \\ &=&Z_0\cfrac{jZ_0}{j\dot {Z_r}} \\ &=&\cfrac{{Z_0}^2}{\dot {Z_r}}\cdots\text{ア} \end{eqnarray} \]位相定数\(\,\beta=2\pi/\lambda\,\)として、\(l=\lambda/2\,\)のとき、\(\beta l=\pi\,\)なので、
\[ \begin{eqnarray} \dot Z&=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\cos\pi+jZ_0\sin\pi}{Z_0\cos\pi+j\dot {Z_r}\sin\pi} \\ &=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}\times 1+jZ_0\times 0}{Z_0\times 1+j\dot {Z_r}\times 0} \\ &=&Z_0\cfrac{\dot {Z_r}}{Z_0} \\ &=&\dot {Z_r}\cdots\text{イ} \end{eqnarray} \]位相定数\(\,\beta=2\pi/\lambda\,\)として、周波数が\(\,30\,[\mathrm{MHz}]\,\)、\(l=40\,[\mathrm{m}]\,\)のとき、
\[ \begin{eqnarray} \beta l&=&\cfrac{2\pi\times40}{300/30} \\ &=&\cfrac{2\pi\times40}{10} \\ &=&2\pi\times4 \\ &=&8\pi \end{eqnarray} \]\(\sin 8\pi=\sin \pi\,\)、\(\cos 8\pi=\cos \pi\,\)なので、ウはイの設問と同意になる。
終端開放の場合、\(\cot\,\)、終端短絡の場合、\(\tan\,\)。これは覚えましょう。