第一級陸上無線技術士試験 無線工学B 過去問題 R5.7(2) A-1 R5.7(1) A-1 R5.1(1) A-1 R4.1(2) A-1 R4.1(1) A-1 R3.7(1) A-1 R3.1(1) A-1 R2.11(2) A-1 R1.7 A-1 H30.7 A-1 H29.7 A-1 H29.1 A-1 H28.7 A-1

R5.7(2) A-1

次の記述は、マクスウェルの方程式から波動方程式を導出する過程について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、媒質は等方性、非分散性、線形、均質として、誘電率を\(\,\varepsilon\,[\mathrm{F/m}]\,\)、透磁率を\(\,\mu\,[\mathrm{H/m}]\,\)及び導電率を\(\,\sigma\,[\mathrm{S/m}]\,\)とする。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。

  1. 電界\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)と磁界\(\,H\,[\mathrm{A/m}]\,\)が共に角周波数\(\,\omega\,[\mathrm{rad/s}]\,\)で正弦的に変化しているとき、両者の間には以下のマクスウェルの方程式が成立しているものとする。 \[ \begin{eqnarray} \nabla\times E&=&-j\omega\mu H\cdots\text{①} \\ \nabla\times H&=&(\sigma+j\omega\varepsilon)E\cdots\text{②} \end{eqnarray} \]
  2. 式①の両辺の\(\,\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)をとると、次式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{B}\quad}\,\nabla\times E=-j\omega\mu\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,H\cdots\text{③} \]
  3. 式③の左辺は、ベクトルの公式により、以下のように表される。 \[ \boxed{\quad\text{B}\quad}\,\nabla\times E=\nabla\nabla\cdotp E-\nabla^2E\cdots\text{④} \]
  4. 通常の媒質中では、電子やイオンは存在しないとして、 \[ \nabla\cdotp E=0\cdots\text{⑤} \]
  5. 式②～⑤から、\(H\,\)を消去して、\(E\,\)に関する以下の波動方程式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{C}\quad}\,E+\gamma^2E=0 \] ここで、\(\gamma^2=\boxed{\quad\text{D}\quad}\,\)であり、\(\gamma\,\)は伝搬定数と呼ばれている。
  6. また、\(H\,\)に関する波動方程式は以下のようになる。 \[ \boxed{\quad\text{C}\quad}\,H+\gamma^2H=0 \]
\[ \begin{array}{r c c c c} &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D} \\ 1&回転&\nabla\times&\nabla\cdotp&j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \\ 2&回転&\nabla\cdotp&\nabla^2&j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \\ 3&回転&\nabla\times&\nabla^2&-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \\ 4&発散&\nabla\times&\nabla\cdotp&-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \\ 5&発散&\nabla\cdotp&\nabla^2&j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \end{array} \]

解法

\(\nabla\times\,\)は\(\,rot\,\)とも表記し、回転(rotation)の意味で、数学的には外積。参考までに\(\nabla\dot\,\)は\(\,div\,\)とも表記し、発散(divergence)の意味で、数学的には内積。\(\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)は回転、\(\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)は\(\,\nabla\times\,\)。式③の\(\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)を埋めると

\[ \nabla\times\nabla\times E=-j\omega\mu\nabla\times H\cdots\text{③}' \]

式②を上式に代入すると

\[ \nabla\times\nabla\times E=-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)E\cdots\text{⑥} \]

一方、式⑤を式④に代入すると

\[ \nabla\times\nabla\times E=-\nabla^2E\cdots\text{⑦} \]

式⑥、⑦より

\[ \begin{eqnarray} -j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)E&=&-\nabla^2E \\ \nabla^2E-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)E&=&0 \end{eqnarray} \]

上式と(5)の波動方程式から

\[ \begin{eqnarray} \nabla^2E-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)E&=&0 \\ \boxed{\quad\text{C}\quad}\,E+\gamma^2E&=&0 \\ \therefore\boxed{\quad\text{C}\quad}&=&\nabla^2 \\ \therefore\gamma^2&=&-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \end{eqnarray} \]

答え…3

R5.7(1) A-1

次の記述は、電界\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)と磁界\(\,H\,[\mathrm{A/m}]\,\)に関するマクスウェルの方程式について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、媒質は均質、等方性、線形、非分散性とし、誘電率を\(\,\varepsilon\,[\mathrm{F/m}]\,\)、透磁率を\(\,\mu\,[\mathrm{H/m}]\,\)、導電率を\(\,\sigma\,[\mathrm{S/m}]\,\)、印加電流を\(\,J_0\,[\mathrm{A/m^2}]\,\)及び時間を\(\,t\,[\mathrm{s}]\,\)とする。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。

  1. \(E\,\)と\(\,H\,\)に関するマクスウェルの方程式は、次式で表される。 \[ \begin{eqnarray} \boxed{\quad\text{A}\quad}E&=&-\mu\cfrac{\partial H}{\partial t}\cdots\text{①} \\ \boxed{\quad\text{A}\quad}H&=&J_0+\sigma E+\varepsilon\cfrac{\partial E}{\partial t}\cdots\text{②} \\ \end{eqnarray} \]
  2. 式①は、\(\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)の法則と呼ばれ、磁界が変化すると、電界が発生することを表している。
  3. 式②は、拡張された\(\,\boxed{\quad\text{C}\quad}\,\)の法則と呼ばれ、この右辺は、第1項の印加電流、第2項の導電流及び\(\,\boxed{\quad\text{D}\quad}\,\)と呼ばれている第3項からなる。第3項は、\(\boxed{\quad\text{D}\quad}\,\)が印加電流及び導電流と同様に磁界が発生することを表している。
\[ \begin{array}{r c c c c} &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D} \\ 1&\nabla\cdotp&ファラデー&アンペア&対流電流 \\ 2&\nabla\cdotp&アンペア&ファラデー&変位電流 \\ 3&\nabla\times&ファラデー&アンペア&変位電流 \\ 4&\nabla\times&アンペア&ファラデー&変位電流 \\ 5&\nabla\times&アンペア&ファラデー&対流電流 \end{array} \]

解法

\(rot\,\)は\(\,\nabla\times\,\)とも表記します。

変位電流は覚えるしかありませんが、対流電流というキーワードはこの試験で見たことがありません。

答え…3

R5.1(1) A-1

次の記述は、マクスウェルの方程式について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、媒質は均質、等方性、線形、非分散性とし、誘電率を\(\,\varepsilon\,[\mathrm{F/m}]\,\)、透磁率を\(\,\mu\,[\mathrm{H/m}]\,\)、及び導電率を\(\,\sigma\,[\mathrm{S/m}]\,\)とする。また、対象の領域には、印加電流はないものとする。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。

  1. 電界\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)と磁界\(\,H\,[\mathrm{A/m}]\,\)に関するマクスウェルの方程式は、時間を\(\,t\,[\mathrm{s}]\,\)とすると、次式で表される。 \[ \begin{eqnarray} \boxed{\quad\text{A}\quad}E&=&-\mu\cfrac{\partial H}{\partial t}\cdots\text{①} \\ \boxed{\quad\text{A}\quad}H&=&\sigma E+\varepsilon\cfrac{\partial E}{\partial t}\cdots\text{②} \\ \end{eqnarray} \]
  2. \(H\,\)と\(\,E\,\)が共に角周波数\(\,\omega\,[\mathrm{rad/s}]\,\)で正弦的に変化しているとき、\(H\,\)と\(\,E\,\)は、それぞれ次式で表される。 \[ \begin{eqnarray} H&=&H_0e^{j\omega t}\cdots\text{③} \\ E&=&E_0e^{j\omega t}\cdots\text{④} \\ \end{eqnarray} \] ここで、\(H_0\,\)と\(\,E_0\,\)は、時間に依存しない定数とする。
  3. 式③を式①へ代入すると、次式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{A}\quad}E=\boxed{\quad\text{B}\quad}\cdots\text{⑤} \] 式④を式②へ代入すると、次式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{A}\quad}H=\boxed{\quad\text{C}\quad}\cdots\text{⑥} \]
\[ \begin{array}{r c c c} &\text{A}&\text{B}&\text{C} \\ 1&\nabla\cdotp&j\omega\mu E&(\sigma+j\omega\varepsilon)H \\ 2&\nabla\cdotp&j\omega\mu E&(\sigma-j\omega\varepsilon)H \\ 3&\nabla\times&-j\omega\mu E&(\sigma+j\omega\varepsilon)H \\ 4&\nabla\times&-j\omega\mu H&(\sigma+j\omega\varepsilon)E \\ 5&\nabla\times&j\omega\mu H&(\sigma-j\omega\varepsilon)E \end{array} \]

解法

\(\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)は\(\,rot\,\)で回転(rotation)の意味。\(\nabla\times\,\)とも表記する。\(\frac d{dx}e^{ax}=ae^{ax}\,\)なので、式③を式①へ代入すると

\[ \begin{eqnarray} \nabla\times E&=&-\mu\cfrac{\partial}{\partial t}H_0e^{j\omega t} \\ &=&-j\omega\mu H_0e^{j\omega t} \\ &=&-j\omega\mu H\cdots\text{⑤} \end{eqnarray} \]

同様に式④を式②に代入すると

\[ \begin{eqnarray} \nabla\times H&=&\sigma E_0e^{j\omega t}+\varepsilon\cfrac{\partial}{\partial t}E_0e^{j\omega t} \\ &=&\sigma E_0e^{j\omega t}+j\omega\varepsilon E_0e^{j\omega t} \\ &=&(\sigma+j\omega\varepsilon)E_0e^{j\omega t} \\ &=&(\sigma+j\omega\varepsilon)E\cdots\text{⑥} \end{eqnarray} \]

答え…4

R4.1(2) A-1

次の記述は、電界\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)と磁界\(\,H\,[\mathrm{A/m}]\,\)に関するマクスウェルの方程式について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、媒質は均質、等方性、線形、非分散性とし、誘電率を\(\,\varepsilon\,[\mathrm{F/m}]\,\)、透磁率を\(\,\mu\,[\mathrm{H/m}]\,\)、導電率を\(\,\sigma\,[\mathrm{S/m}]\,\)、印加電流を\(\,J_0\,[\mathrm{A/m^2}]\,\)及び時間を\(\,t\,[\mathrm{s}]\,\)とする。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。

  1. \(E\,\)と\(\,H\,\)に関するマクスウェルの方程式は、次式で表される。 \[ \begin{eqnarray} \boxed{\quad\text{A}\quad}H&=&J_0+\sigma E+\varepsilon\cfrac{\partial E}{\partial t}\cdots\text{①} \\ \boxed{\quad\text{A}\quad}E&=&-\mu\cfrac{\partial H}{\partial t}\cdots\text{②} \\ \end{eqnarray} \]
  2. 式①は、拡張された\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)の法則と呼ばれ、この右辺は、第1項の印加電流、第2項の導電流及び\(\,\boxed{\quad\text{C}\quad}\,\)と呼ばれている第3項からなる。第3項は、\(\boxed{\quad\text{C}\quad}\,\)が印加電流及び導電流と同様に磁界が発生することを表している。
  3. 式②は、\(\boxed{\quad\text{D}\quad}\,\)の法則と呼ばれ、磁界が変化すると、電界が発生することを表している。
\[ \begin{array}{r c c c c} &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D} \\ 1&\nabla\cdotp&ファラデー&対流電流&アンペア \\ 2&\nabla\cdotp&アンペア&変位電流&ファラデー \\ 3&\nabla\times&ファラデー&対流電流&アンペア \\ 4&\nabla\times&アンペア&変位電流&ファラデー \\ 5&\nabla\times&アンペア&対流電流&ファラデー \end{array} \]

解法

\(rot\,\)は\(\,\nabla\times\,\)とも表記します。

変位電流は覚えるしかありませんが、対流電流というキーワードはこの試験で見たことがありません。

答え…4

R4.1(1) A-1

次の記述は、マクスウェルの方程式から波動方程式を導出する過程について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、媒質は等方性、非分散性、線形、均質として、誘電率を\(\,\varepsilon\,[\mathrm{F/m}]\,\)、透磁率を\(\,\mu\,[\mathrm{H/m}]\,\)及び導電率を\(\,\sigma\,[\mathrm{S/m}]\,\)とする。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。

  1. 電界\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)と磁界\(\,H\,[\mathrm{A/m}]\,\)が共に角周波数\(\,\omega\,[\mathrm{rad/s}]\,\)で正弦的に変化しているとき、両者の間には以下のマクスウェルの方程式が成立しているものとする。 \[ \begin{eqnarray} \nabla\times E&=&-j\omega\mu H\cdots\text{①} \\ \nabla\times H&=&(\sigma+j\omega\varepsilon)E\cdots\text{②} \end{eqnarray} \]
  2. 式①の両辺の\(\,\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)をとると、次式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{B}\quad}\,\nabla\times E=-j\omega\mu\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,H\cdots\text{③} \]
  3. 式③の左辺は、ベクトルの公式により、以下のように表される。 \[ \boxed{\quad\text{B}\quad}\,\nabla\times E=\nabla\nabla\cdotp E-\nabla^2E\cdots\text{④} \]
  4. 通常の媒質中では、電子やイオンは存在しないので、 \[ \nabla\cdotp E=0\cdots\text{⑤} \]
  5. 式②～⑤から、\(H\,\)を消去して、\(E\,\)に関する以下の波動方程式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{C}\quad}\,E+\gamma^2E=0 \] ここで、\(\gamma^2=\boxed{\quad\text{D}\quad}\,\)であり、\(\gamma\,\)は伝搬定数と呼ばれている。
  6. また、\(H\,\)に関する波動方程式は以下のようになる。 \[ \boxed{\quad\text{C}\quad}\,H+\gamma^2H=0 \]
\[ \begin{array}{r c c c c} &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D} \\ 1&回転&\nabla\times&\nabla\cdotp&j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \\ 2&回転&\nabla\times&\nabla^2&-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \\ 3&回転&\nabla\cdotp&\nabla\cdotp&j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \\ 4&発散&\nabla\times&\nabla\cdotp&-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \\ 5&発散&\nabla\cdotp&\nabla^2&j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \end{array} \]

解法

\(\nabla\times\,\)は\(\,rot\,\)とも表記し、回転(rotation)の意味で、数学的には外積。参考までに\(\nabla\dot\,\)は\(\,div\,\)とも表記し、発散(divergence)の意味で、数学的には内積。\(\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)は回転、\(\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)は\(\,\nabla\times\,\)。式③の\(\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)を埋めると

\[ \nabla\times\nabla\times E=-j\omega\mu\nabla\times H\cdots\text{③}' \]

式②を上式に代入すると

\[ \nabla\times\nabla\times E=-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)E\cdots\text{⑥} \]

一方、式⑤を式④に代入すると

\[ \nabla\times\nabla\times E=-\nabla^2E\cdots\text{⑦} \]

式⑥、⑦より

\[ \begin{eqnarray} -j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)E&=&-\nabla^2E \\ \nabla^2E-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)E&=&0 \end{eqnarray} \]

上式と(5)の波動方程式から

\[ \begin{eqnarray} \nabla^2E-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)E&=&0 \\ \boxed{\quad\text{C}\quad}\,E+\gamma^2E&=&0 \\ \therefore\boxed{\quad\text{C}\quad}&=&\nabla^2 \\ \therefore\gamma^2&=&-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \end{eqnarray} \]

答え…2

R3.7(1) A-1

次の記述は、マクスウェルの方程式について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、媒質は均質、等方性、線形、非分散性とし、誘電率を\(\,\varepsilon\,[\mathrm{F/m}]\,\)、透磁率を\(\,\mu\,[\mathrm{H/m}]\,\)、及び導電率を\(\,\sigma\,[\mathrm{S/m}]\,\)とする。また、対象の領域には、印加電流はないものとする。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。

  1. 電界\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)と磁界\(\,H\,[\mathrm{A/m}]\,\)に関するマクスウェルの方程式は、時間を\(\,t\,[\mathrm{s}]\,\)とすると、次式で表される。 \[ \begin{eqnarray} \boxed{\quad\text{A}\quad}H&=&\sigma E+\varepsilon\cfrac{\partial E}{\partial t}\cdots\text{①} \\ \boxed{\quad\text{A}\quad}E&=&-\mu\cfrac{\partial H}{\partial t}\cdots\text{②} \\ \end{eqnarray} \]
  2. \(E\,\)と\(\,H\,\)が共に角周波数\(\,\omega\,[\mathrm{rad/s}]\,\)で正弦的に変化しているとき、\(E\,\)と\(\,H\,\)は、それぞれ次式で表される。 \[ \begin{eqnarray} E&=&E_0e^{j\omega t}\cdots\text{③} \\ H&=&H_0e^{j\omega t}\cdots\text{④} \\ \end{eqnarray} \] ここで、\(E_0\,\)と\(\,H_0\,\)は、時間に依存しない定数とする。
  3. 式③を式①へ代入すると、次式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{A}\quad}H=\boxed{\quad\text{B}\quad}\cdots\text{⑤} \] 式④を式②へ代入すると、次式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{A}\quad}E=\boxed{\quad\text{C}\quad}\cdots\text{⑥} \\ \]
\[ \begin{array}{r c c c} &\text{A}&\text{B}&\text{C} \\ 1&\nabla\cdotp&(\sigma+j\omega\varepsilon)H&j\omega\mu E \\ 2&\nabla\cdotp&(\sigma-j\omega\varepsilon)H&j\omega\mu E \\ 3&\nabla\times&(\sigma+j\omega\varepsilon)H&-j\omega\mu E \\ 4&\nabla\times&(\sigma-j\omega\varepsilon)E&j\omega\mu H \\ 5&\nabla\times&(\sigma+j\omega\varepsilon)E&-j\omega\mu H \end{array} \]

解法

\(\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)は\(\,rot\,\)で回転(rotation)の意味。\(\nabla\times\,\)とも表記する。\(\frac d{dx}e^{ax}=ae^{ax}\,\)なので、式③を式①に代入すると

\[ \begin{eqnarray} \nabla\times H&=&\sigma E_0e^{j\omega t}+\varepsilon\cfrac{\partial}{\partial t}E_0e^{j\omega t} \\ &=&\sigma E_0e^{j\omega t}+j\omega\varepsilon E_0e^{j\omega t} \\ &=&(\sigma+j\omega\varepsilon)E_0e^{j\omega t} \\ &=&(\sigma+j\omega\varepsilon)E \\ \therefore \boxed{\quad\text{B}\quad}&=&(\sigma+j\omega\varepsilon)E \end{eqnarray} \]

同様に式④を式②へ代入すると

\[ \begin{eqnarray} \nabla\times E&=&-\mu\cfrac{\partial}{\partial t}H_0e^{j\omega t} \\ &=&-j\omega\mu H_0e^{j\omega t} \\ &=&-j\omega\mu H \\ \therefore \boxed{\quad\text{C}\quad}&=&-j\omega\mu H \end{eqnarray} \]

答え…5

R3.1(1) A-1

次の記述は、電界\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)と磁界\(\,H\,[\mathrm{A/m}]\,\)に関するマクスウェルの方程式について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、媒質は均質、等方性、線形、非分散性とし、誘電率を\(\,\varepsilon\,[\mathrm{F/m}]\,\)、透磁率を\(\,\mu\,[\mathrm{H/m}]\,\)、導電率を\(\,\sigma\,[\mathrm{S/m}]\,\)、印加電流を\(\,J_0\,[\mathrm{A/m^2}]\,\)及び時間を\(\,t\,[\mathrm{s}]\,\)とする。

  1. \(E\,\)と\(\,H\,\)に関するマクスウェルの方程式は、次式で表される。 \[ \begin{eqnarray} \boxed{\quad\text{A}\quad}&=&J_0+\sigma E+\varepsilon\cfrac{\partial E}{\partial t}\cdots\text{①} \\ \boxed{\quad\text{B}\quad}&=&-\mu\cfrac{\partial H}{\partial t}\cdots\text{②} \\ \end{eqnarray} \]
  2. 式①は、拡張されたアンペアの法則と呼ばれ、この右辺は、第1項の印加電流、第2項の導電流及び\(\,\boxed{\quad\text{C}\quad}\,\)と呼ばれている第3項からなる。
  3. 式②は、ファラデーの法則と呼ばれている。
\[ \begin{array}{r c c c} &\text{A}&\text{B}&\text{C} \\ 1&rot E&rot H&対流電流 \\ 2&rot E&rot H&変位電流 \\ 3&rot E&div H&対流電流 \\ 4&rot H&rot E&対流電流 \\ 5&rot H&rot E&変位電流 \end{array} \]

解法

右辺に\(\,E\,\)が出てくるものは、左辺は\(\,H\,\)と覚えるのはいかがでしょうか。

変位電流は覚えるしかありませんが、対流電流というキーワードはこの試験で見たことがありません。

答え…5

R2.11(2) A-1

次の記述は、マクスウェルの方程式から波動方程式を導出する過程について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、媒質は等方性、非分散性、線形、均質として、誘電率を\(\,\varepsilon\,[\mathrm{F/m}]\,\)、透磁率を\(\,\mu\,[\mathrm{H/m}]\,\)及び導電率を\(\,\sigma\,[\mathrm{S/m}]\,\)とする。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。

  1. 電界\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)と磁界\(\,H\,[\mathrm{A/m}]\,\)が共に角周波数\(\,\omega\,[\mathrm{rad/s}]\,\)で正弦的に変化しているとき、両者の間には以下のマクスウェルの方程式が成立しているものとする。 \[ \begin{eqnarray} \nabla\times E&=&-j\omega\mu H\cdots\text{①} \\ \nabla\times H&=&(\sigma+j\omega\varepsilon)E\cdots\text{②} \end{eqnarray} \]
  2. 式①の両辺の\(\,\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)をとると、次式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{B}\quad}\,\nabla\times E=-j\omega\mu\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,H\cdots\text{③} \]
  3. 式③の左辺は、ベクトルの公式により、以下のように表される。 \[ \boxed{\quad\text{B}\quad}\,\nabla\times E=\nabla\nabla\cdotp E-\nabla^2E\cdots\text{④} \]
  4. 通常の媒質中では、電子やイオンは存在しないので、 \[ \nabla\cdotp E=0\cdots\text{⑤} \]
  5. 式②～⑤から、\(H\,\)を消去して、\(E\,\)に関する以下の波動方程式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{C}\quad}\,E+\gamma^2E=0 \] ここで、\(\gamma^2=\boxed{\quad\text{D}\quad}\,\)であり、\(\gamma\,\)は伝搬定数と呼ばれている。
  6. また、\(H\,\)に関する波動方程式は以下のようになる。 \[ \boxed{\quad\text{C}\quad}\,H+\gamma^2H=0 \]
\[ \begin{array}{r c c c c} &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D} \\ 1&発散&\nabla\times&\nabla\cdotp&-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \\ 2&発散&\nabla\cdotp&\nabla^2&j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \\ 3&回転&\nabla\cdotp&\nabla\cdotp&j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \\ 4&回転&\nabla\times&\nabla\cdotp&-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \\ 5&回転&\nabla\times&\nabla^2&-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \end{array} \]

解法

\(\nabla\times\,\)は\(\,rot\,\)とも表記し、回転(rotation)の意味で、数学的には外積。参考までに\(\nabla\dot\,\)は\(\,div\,\)とも表記し、発散(divergence)の意味で、数学的には内積。\(\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)は回転、\(\boxed{\quad\text{B}\quad}=\nabla\times\,\)、式③は

\[ \nabla\times\nabla\times E=-j\omega\mu\nabla\times H \]

式②を上式に代入すると

\[ \nabla\times\nabla\times E=-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)E\cdots\text{⑥} \]

一方、式⑤を式④に代入すると

\[ \nabla\times\nabla\times E=-\nabla^2E\cdots\text{⑦} \]

式⑥、⑦より

\[ \begin{eqnarray} -j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)E&=&-\nabla^2E \\ \nabla^2E-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)E&=&0 \\ \therefore \gamma^2&=&-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \end{eqnarray} \]

答え…5

R1.7 A-1

次の記述は、マクスウェルの方程式について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、媒質は均質、等方性、線形、非分散性とし、誘電率を\(\,\varepsilon\,[\mathrm{F/m}]\,\)、透磁率を\(\,\mu\,[\mathrm{H/m}]\,\)、及び導電率を\(\,\sigma\,[\mathrm{S/m}]\,\)とする。また、対象の領域には、印加電流はないものとする。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。

  1. 電界\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)と磁界\(\,H\,[\mathrm{A/m}]\,\)に関するマクスウェルの方程式は、時間を\(\,t\,[\mathrm{s}]\,\)とすると、次式で表される。 \[ \begin{eqnarray} \boxed{\quad\text{A}\quad}H&=&\sigma E+\varepsilon\cfrac{\partial E}{\partial t}\cdots\text{①} \\ \boxed{\quad\text{A}\quad}E&=&-\mu\cfrac{\partial H}{\partial t}\cdots\text{②} \\ \end{eqnarray} \]
  2. \(E\,\)と\(\,H\,\)が共に角周波数\(\,\omega\,[\mathrm{rad/s}]\,\)で正弦的に変化しているとき、\(E\,\)と\(\,H\,\)は、それぞれ次式で表される。 \[ \begin{eqnarray} E&=&E_0e^{j\omega t}\cdots\text{③} \\ H&=&H_0e^{j\omega t}\cdots\text{④} \\ \end{eqnarray} \] ここで、\(E_0\,\)と\(\,H_0\,\)は、時間に依存しない定数とする。
  3. 式③を式①へ代入すると、次式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{A}\quad}H=(\boxed{\quad\text{B}\quad})E\cdots\text{⑤} \] 式④を式②へ代入すると、次式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{A}\quad}E=(\boxed{\quad\text{C}\quad})H\cdots\text{⑥} \\ \]
  4. 式⑤と式⑥より、\(E\,\)、あるいは、\(H\,\)に関する波動方程式が得られる。
\[ \begin{array}{r c c c} &\text{A}&\text{B}&\text{C} \\ 1&div&\sigma+j\omega\varepsilon&-j\omega\mu \\ 2&div&\sigma-j\omega\varepsilon&j\omega\mu \\ 3&rot&\sigma-j\omega\varepsilon&j\omega\mu \\ 4&rot&\sigma+j\omega\varepsilon&-j\omega\mu \\ 5&rot&\sigma-j\omega\varepsilon&-j\omega\mu \end{array} \]

解法

\(\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)は\(\,rot\,\)で回転(rotation)の意味。\(\nabla\times\,\)とも表記する。\(\frac d{dx}e^{ax}=ae^{ax}\,\)なので、式③を式①に代入すると

\[ \begin{eqnarray} rot H&=&\sigma E_0e^{j\omega t}+\varepsilon\cfrac{\partial}{\partial t}E_0e^{j\omega t} \\ &=&\sigma E_0e^{j\omega t}+j\omega\varepsilon E_0e^{j\omega t} \\ &=&(\sigma+j\omega\varepsilon)E_0e^{j\omega t} \\ &=&(\sigma+j\omega\varepsilon)E \\ \therefore \boxed{\quad\text{B}\quad}&=&\sigma+j\omega\varepsilon \end{eqnarray} \]

同様に式④を式②へ代入すると

\[ \begin{eqnarray} rot E&=&-\mu\cfrac{\partial}{\partial t}H_0e^{j\omega t} \\ &=&-j\omega\mu H_0e^{j\omega t} \\ &=&-j\omega\mu H \\ \therefore \boxed{\quad\text{C}\quad}&=&-j\omega\mu \end{eqnarray} \]

答え…4

H30.7 A-1

次の記述は、電界\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)と磁界\(\,H\,[\mathrm{A/m}]\,\)に関するマクスウェルの方程式について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、媒質は均質、等方性、線形、非分散性とし、誘電率を\(\,\varepsilon\,[\mathrm{F/m}]\,\)、透磁率を\(\,\mu\,[\mathrm{H/m}]\,\)、導電率を\(\,\sigma\,[\mathrm{S/m}]\,\)、印加電流を\(\,J_0\,[\mathrm{A/m^2}]\,\)及び時間を\(\,t\,[\mathrm{s}]\,\)とする。

  1. \(E\,\)と\(\,H\,\)に関するマクスウェルの方程式は、次式で表される。 \[ \begin{eqnarray} \boxed{\quad\text{A}\quad}H&=&J_0+\sigma E+\varepsilon\cfrac{\partial E}{\partial t}\cdots\text{①} \\ \boxed{\quad\text{A}\quad}E&=&-\mu\cfrac{\partial H}{\partial t}\cdots\text{②} \\ \end{eqnarray} \]
  2. 式①は、拡張された\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)の法則と呼ばれ、この右辺は、第1項の印加電流、第2項の導電流及び\(\,\boxed{\quad\text{C}\quad}\,\)と呼ばれている第3項からなる。第3項は、\(\boxed{\quad\text{C}\quad}\,\)が印加電流及び導電流と同様に磁界を発生することを表している。
  3. 式②は、\(\boxed{\quad\text{D}\quad}\,\)の法則と呼ばれ、磁界が変化すると、電界が発生することを表している。
\[ \begin{array}{r c c c c} &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D} \\ 1&\nabla\cdot&ファラデー&対流電流&アンペア \\ 2&\nabla\cdot&アンペア&変位電流&ファラデー \\ 3&\nabla\times&アンペア&変位電流&ファラデー \\ 4&\nabla\times&ファラデー&対流電流&アンペア \\ 5&\nabla\times&アンペア&対流電流&ファラデー \end{array} \]

解法

\(rot\,\)は\(\,\nabla\times\,\)とも表記します。

変位電流は覚えるしかありませんが、対流電流というキーワードはこの試験で見たことがありません。

答え…3

H29.7 A-1

次の記述は、マクスウェルの方程式から波動方程式を導出する過程について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、媒質は等方性、非分散性、線形、均質として、誘電率を\(\,\varepsilon\,[\mathrm{F/m}]\,\)、透磁率を\(\,\mu\,[\mathrm{H/m}]\,\)及び導電率を\(\,\sigma\,[\mathrm{S/m}]\,\)とする。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。

  1. 電界\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)と磁界\(\,H\,[\mathrm{A/m}]\,\)が共に角周波数\(\,\omega\,[\mathrm{rad/s}]\,\)で正弦的に変化しているとき、両者の間には以下のマクスウェルの方程式が成立しているものとする。 \[ \begin{eqnarray} \nabla\times E&=&-j\omega\mu H\cdots\text{①} \\ \nabla\times H&=&(\sigma+j\omega\varepsilon)E\cdots\text{②} \end{eqnarray} \]
  2. 式①の両辺の\(\,\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)をとると、次式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{B}\quad}\,\nabla\times E=-j\omega\mu\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,H\cdots\text{③} \]
  3. 式③の左辺は、ベクトルの公式により、以下のように表される。 \[ \boxed{\quad\text{B}\quad}\,\nabla\times E=\nabla\nabla\cdotp E-\nabla^2E\cdots\text{④} \]
  4. 通常の媒質中では、電子やイオンは存在しないので、 \[ \nabla\cdotp E=0\cdots\text{⑤} \]
  5. 式②～⑤から、\(H\,\)を消去して、\(E\,\)に関する以下の波動方程式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{C}\quad}\,E+\gamma^2E=0 \] ここで、\(\gamma^2=\boxed{\quad\text{D}\quad}\,\)であり、\(\gamma\,\)は伝搬定数と呼ばれている。
  6. また、\(H\,\)に関する波動方程式は以下のようになる。 \[ \boxed{\quad\text{C}\quad}\,H+\gamma^2H=0 \]
\[ \begin{array}{r c c c c} &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D} \\ 1&回転&\nabla\times&\nabla^2&-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \\ 2&回転&\nabla\times&\nabla\cdotp&j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \\ 3&回転&\nabla\cdotp&\nabla\cdotp&j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \\ 4&発散&\nabla\times&\nabla\cdotp&-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \\ 5&発散&\nabla\cdotp&\nabla^2&j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \end{array} \]

解法

\(\nabla\times\,\)は\(\,rot\,\)とも表記し、回転(rotation)の意味で、数学的には外積。参考までに\(\nabla\dot\,\)は\(\,div\,\)とも表記し、発散(divergence)の意味で、数学的には内積。\(\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)は回転、\(\boxed{\quad\text{B}\quad}=\nabla\times\,\)、式③は

\[ \nabla\times\nabla\times E=-j\omega\mu\nabla\times H \]

式②を上式に代入すると

\[ \nabla\times\nabla\times E=-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)E\cdots\text{⑥} \]

一方、式⑤を式④に代入すると

\[ \nabla\times\nabla\times E=-\nabla^2E\cdots\text{⑦} \]

式⑥、⑦より

\[ \begin{eqnarray} -j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)E&=&-\nabla^2E \\ \nabla^2E-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)E&=&0 \\ \therefore \gamma^2&=&-j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \end{eqnarray} \]

答え…1

H29.1 A-1

次の記述は、マクスウェルの方程式について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、媒質は均質、等方性、線形、非分散性とし、誘電率を\(\,\varepsilon\,[\mathrm{F/m}]\,\)、透磁率を\(\,\mu\,[\mathrm{H/m}]\,\)、及び導電率を\(\,\sigma\,[\mathrm{S/m}]\,\)とする。また、対象の領域には、印加電流はないものとする。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。

  1. 電界\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)と磁界\(\,H\,[\mathrm{A/m}]\,\)に関するマクスウェルの方程式は、時間を\(\,t\,[\mathrm{s}]\,\)とすると、次式で表される。 \[ \begin{eqnarray} \boxed{\quad\text{A}\quad}H&=&\sigma E+\varepsilon\cfrac{\partial E}{\partial t}\cdots\text{①} \\ \boxed{\quad\text{A}\quad}E&=&-\mu\cfrac{\partial H}{\partial t}\cdots\text{②} \\ \end{eqnarray} \]
  2. \(E\,\)と\(\,H\,\)が共に角周波数\(\,\omega\,[\mathrm{rad/s}]\,\)で正弦的に変化しているとき、\(E\,\)と\(\,H\,\)は、それぞれ次式で表される。 \[ \begin{eqnarray} E&=&E_0e^{j\omega t}\cdots\text{③} \\ H&=&H_0e^{j\omega t}\cdots\text{④} \\ \end{eqnarray} \] ここで、\(E_0\,\)と\(\,H_0\,\)は、時間に依存しない定数とする。
  3. 式③を式①へ代入すると、次式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{A}\quad}H=(\boxed{\quad\text{B}\quad})E\cdots\text{⑤} \] 式④を式②へ代入すると、次式が得られる。 \[ \boxed{\quad\text{A}\quad}E=(\boxed{\quad\text{C}\quad})H\cdots\text{⑥} \\ \]
  4. 式⑤と式⑥より、\(E\,\)、あるいは、\(H\,\)に関する波動方程式が得られる。
\[ \begin{array}{r c c c} &\text{A}&\text{B}&\text{C} \\ 1&\nabla\times&\sigma-j\omega\varepsilon&j\omega\mu \\ 2&\nabla\times&\sigma+j\omega\varepsilon&-j\omega\mu \\ 3&\nabla\times&\sigma-j\omega\varepsilon&-j\omega\mu \\ 4&\nabla\cdot&\sigma+j\omega\varepsilon&-j\omega\mu \\ 5&\nabla\cdot&\sigma-j\omega\varepsilon&j\omega\mu \end{array} \]

解法

\(\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)は\(\,rot\,\)で回転(rotation)の意味。\(\nabla\times\,\)とも表記する。\(\frac d{dx}e^{ax}=ae^{ax}\,\)なので、式③を式①に代入すると

\[ \begin{eqnarray} rot H&=&\sigma E_0e^{j\omega t}+\varepsilon\cfrac{\partial}{\partial t}E_0e^{j\omega t} \\ &=&\sigma E_0e^{j\omega t}+j\omega\varepsilon E_0e^{j\omega t} \\ &=&(\sigma+j\omega\varepsilon)E_0e^{j\omega t} \\ &=&(\sigma+j\omega\varepsilon)E \\ \therefore \boxed{\quad\text{B}\quad}&=&\sigma+j\omega\varepsilon \end{eqnarray} \]

同様に式④を式②へ代入すると

\[ \begin{eqnarray} rot E&=&-\mu\cfrac{\partial}{\partial t}H_0e^{j\omega t} \\ &=&-j\omega\mu H_0e^{j\omega t} \\ &=&-j\omega\mu H \\ \therefore \boxed{\quad\text{C}\quad}&=&-j\omega\mu \end{eqnarray} \]

答え…2

H28.7 A-1

次の記述は、電界\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)と磁界\(\,H\,[\mathrm{A/m}]\,\)に関するマクスウェルの方程式について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、媒質は均質、等方性、線形、非分散性とし、誘電率を\(\,\varepsilon\,[\mathrm{F/m}]\,\)、透磁率を\(\,\mu\,[\mathrm{H/m}]\,\)、導電率を\(\,\sigma\,[\mathrm{S/m}]\,\)及び印加電流を\(\,J_0\,[\mathrm{A/m^2}]\,\)とする。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。

  1. \(E\,\)と\(\,H\,\)に関するマクスウェルの方程式は、次式で表される。 \[ \begin{eqnarray} \boxed{\quad\text{A}\quad}H&=&J_0+\sigma E+\varepsilon\cfrac{\partial E}{\partial t}\cdots\text{①} \\ \boxed{\quad\text{A}\quad}E&=&-\mu\cfrac{\partial H}{\partial t}\cdots\text{②} \\ \end{eqnarray} \]
  2. 式①は、拡張された\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)の法則と呼ばれ、この右辺は、第1項の印加電流(一次電流源)、第2項の導電流(二次電流)及び\(\,\boxed{\quad\text{C}\quad}\,\)と呼ばれている第3項からなる。第3項は、\(\boxed{\quad\text{C}\quad}\,\)が印加電流及び導電流と同様に磁界を発生することを表している。
  3. 式②は、\(\boxed{\quad\text{D}\quad}\,\)の法則と呼ばれ、磁界が変化すると、電界が発生することを表している。
\[ \begin{array}{r c c c c} &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D} \\ 1&rot&アンペア&変位電流&ファラデー \\ 2&rot&ファラデー&対流電流&アンペア \\ 3&rot&アンペア&対流電流&ファラデー \\ 4&div&ファラデー&対流電流&アンペア \\ 5&div&アンペア&変位電流&ファラデー \end{array} \]

解法

\(rot\,\)は\(\,\nabla\times\,\)とも表記します。

変位電流は覚えるしかありませんが、対流電流というキーワードはこの試験で見たことがありません。

答え…1