R5.7(2) A-13
次の記述は、図に示す誘電体レンズアンテナの波源\(\,O\,\)から誘電体の凸面上の点\(\,P\,\)までの距離を求める式の算出について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、中心線\(\,CA\,\)の延長線上の\(\,O\,\)から凸面上の点\(\,A\,\)及び点\(\,P\,\)までの距離を、それぞれ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)及び\(\,r\,[\mathrm{m}]\,\)とし、\(OA\,\)と\(\,OP\,\)のなす角を\(\,\theta\,[\mathrm{rad}]\,\)とする。
- 自由空間の電波の速度を\(\,v_0\,[\mathrm{m/s}]\,\)、誘電体中の電波の速度を\(\,v_d\,[\mathrm{m/s}]\,\)とすれば、\(O\,\)から発射された電波が点\(\,B\,\)と点\(\,C\,\)に到達する時間は等しくならなければならないので、次式が成り立つ。 \[ \cfrac l{v_0}+\boxed{\quad\text{A}\quad}=\cfrac r{v_0}\,[\mathrm{s}]\cdots\text{①} \]
- 誘電体の屈折率を\(\,n\,\)とすれば、次式の関係がある。 \[ n=\boxed{\quad\text{B}\quad}\cdots\text{②} \] したがって、式②を式①に代入すれば、\(r\,\)は次式となる。 \[ r=\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
解法
点\(\,P\,\)からの垂線と\(\,\overline{OC}\,\)との交点を点\(\,D\,\)とし、\(\,ODP\,\)の直角三角形を考える。(1)は、電波が\(\,\overline{OP}\,\)を進む時間と、\(\overline{OD}\,\)を進む時間が等しいことを言っている。
\(\overline{OD}\,\)の長さを\(\,l'\,\)とすると
\[ l'=r\cos\theta \]であるから、\(\overline{AD}\,\)の長さは
\[ l'-l=r\cos\theta-l \]となる。よって
\[ \cfrac l{v_0}+\cfrac{r\cos\theta-l}{v_d}=\cfrac r{v_0}\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \]屈折率は、自由空間と媒質との速度比であり、自由空間を分子とするので
\[ n=\cfrac{v_0}{v_d}\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \]①を整理すると
\[ \begin{eqnarray} \cfrac r{v_0}-\cfrac{r\cos\theta-l}{v_d}&=&\cfrac l{v_0} \\ \cfrac {rv_d}{v_0v_d}-\cfrac{(r\cos\theta-l)v_0}{v_0v_d}&=&\cfrac l{v_0} \\ \cfrac {rv_d-(r\cos\theta-l)v_0}{v_0v_d}&=&\cfrac l{v_0} \\ rv_d-(r\cos\theta-l)v_0&=&lv_d \\ rv_d-rv_0\cos\theta+lv_0&=&lv_d \\ rv_d-rv_0\cos\theta&=&lv_d-lv_0 \\ r(v_d-v_0\cos\theta)&=&l(v_d-v_0) \\ r&=&\cfrac{l(v_d-v_0)}{v_d-v_0\cos\theta} \\ &=&\cfrac{l(v_d-v_0)\frac1{v_d}}{(v_d-v_0\cos\theta)\frac1{v_d}} \\ &=&\cfrac{l(1-\frac{v_0}{v_d})}{1-\frac{v_0}{v_d}\cos\theta} \end{eqnarray} \]②を代入して
\[ \begin{eqnarray} r&=&\cfrac{l(1-n)}{1-n\cos\theta} \\ &=&\cfrac{l(-1+n)}{-1+n\cos\theta} \\ &=&\cfrac{(n-1)l}{n\cos\theta-1}\cdots\boxed{\quad\text{C}\quad} \end{eqnarray} \]答え…5
R4.7(1) A-11
次の記述は、図に示す誘電体レンズアンテナの波源\(\,O\,\)から誘電体上の点\(\,P\,\)までの距離を求める式の算出について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、中心線\(\,R'F\,\)の延長線上の\(\,O\,\)からレンズ面上の点\(\,F\,\)及び点\(\,P\,\)までの距離を、それぞれ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)及び\(\,r\,[\mathrm{m}]\,\)とし、\(OF\,\)と\(\,OP\,\)のなす角を\(\,\theta\,\)度とする。
- 自由空間の電波の速度を\(\,V_0\,[\mathrm{m/s}]\,\)、誘電体中の電波の速度を\(\,V_d\,[\mathrm{m/s}]\,\)とすれば、\(O\,\)から発射された電波が点\(\,R\,\)と点\(\,R'\,\)に到達する時間は等しくならなければならないので、次式が成り立つ。 \[ \cfrac l{V_0}+\boxed{\quad\text{A}\quad}=\cfrac r{V_0}\,[\mathrm{s}]\cdots\text{①} \]
- 誘電体の屈折率を\(\,n\,\)とすれば、次式の関係がある。 \[ n=\boxed{\quad\text{B}\quad}\cdots\text{②} \] したがって、式②を式①に代入すれば、\(r\,\)は次式となる。 \[ r=\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
解法
点\(\,P\,\)からの垂線と\(\,\overline{OR'}\,\)との交点を点\(\,D\,\)とし、\(\,ODP\,\)の直角三角形を考える。(1)は、電波が\(\,\overline{OP}\,\)を進む時間と、\(\overline{OD}\,\)を進む時間が等しいことを言っている。
\(\overline{OD}\,\)の長さを\(\,l'\,\)とすると
\[ l'=r\cos\theta \]であるから、\(\overline{FD}\,\)の長さは
\[ l'-l=r\cos\theta-l \]となる。よって
\[ \cfrac l{v_0}+\cfrac{r\cos\theta-l}{V_d}=\cfrac r{v_0}\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \]屈折率は、自由空間と媒質との速度比であり、自由空間を分子とするので
\[ n=\cfrac{V_0}{V_d}\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \]①を整理すると
\[ \begin{eqnarray} \cfrac r{V_0}-\cfrac{r\cos\theta-l}{V_d}&=&\cfrac l{V_0} \\ \cfrac {rV_d}{V_0V_d}-\cfrac{(r\cos\theta-l)V_0}{V_0V_d}&=&\cfrac l{V_0} \\ \cfrac {rV_d-(r\cos\theta-l)V_0}{V_0V_d}&=&\cfrac l{V_0} \\ rV_d-(r\cos\theta-l)V_0&=&lV_d \\ rV_d-rV_0\cos\theta+lV_0&=&lV_d \\ rV_d-rV_0\cos\theta&=&lV_d-lV_0 \\ r(V_d-V_0\cos\theta)&=&l(V_d-V_0) \\ r&=&\cfrac{l(V_d-V_0)}{V_d-V_0\cos\theta} \\ &=&\cfrac{l(V_d-V_0)\frac1{V_d}}{(V_d-V_0\cos\theta)\frac1{V_d}} \\ &=&\cfrac{l(1-\frac{V_0}{V_d})}{1-\frac{V_0}{V_d}\cos\theta} \end{eqnarray} \]②を代入して
\[ \begin{eqnarray} r&=&\cfrac{l(1-n)}{1-n\cos\theta} \\ &=&\cfrac{l(-1+n)}{-1+n\cos\theta} \\ &=&\cfrac{(n-1)l}{n\cos\theta-1}\cdots\boxed{\quad\text{C}\quad} \end{eqnarray} \]答え…4
R3.7(1) A-10
次の記述は、図に示す誘電体レンズアンテナの波源\(\,O\,\)から誘電体の凸面上の点\(\,P\,\)までの距離を求める式の算出について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、中心線\(\,CA\,\)の延長線上の\(\,O\,\)から凸面上の点\(\,A\,\)及び点\(\,P\,\)までの距離を、それぞれ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)及び\(\,r\,[\mathrm{m}]\,\)とし、\(OA\,\)と\(\,OP\,\)のなす角を\(\,\theta\,[\mathrm{rad}]\,\)とする。
- 自由空間の電波の速度を\(\,v_0\,[\mathrm{m/s}]\,\)、誘電体中の電波の速度を\(\,v_d\,[\mathrm{m/s}]\,\)とすれば、\(O\,\)から発射された電波が点\(\,B\,\)と点\(\,C\,\)に到達する時間は等しくならなければならないので、次式が成り立つ。 \[ \cfrac l{v_0}+\boxed{\quad\text{A}\quad}=\cfrac r{v_0}\,[\mathrm{s}]\cdots\text{①} \]
- 誘電体の屈折率を\(\,n\,\)とすれば、次式の関係がある。 \[ n=\boxed{\quad\text{B}\quad}\cdots\text{②} \] したがって、式②を式①に代入すれば、\(r\,\)は次式となる。 \[ r=\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
解法
点\(\,P\,\)からの垂線と\(\,\overline{OC}\,\)との交点を点\(\,D\,\)とし、\(\,ODP\,\)の直角三角形を考える。(1)は、電波が\(\,\overline{OP}\,\)を進む時間と、\(\overline{OD}\,\)を進む時間が等しいことを言っている。
\(\overline{OD}\,\)の長さを\(\,l'\,\)とすると
\[ l'=r\cos\theta \]であるから、\(\overline{AD}\,\)の長さは
\[ l'-l=r\cos\theta-l \]となる。よって
\[ \cfrac l{v_0}+\cfrac{r\cos\theta-l}{v_d}=\cfrac r{v_0}\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \]屈折率は、自由空間と媒質との速度比であり、自由空間を分子とするので
\[ n=\cfrac{v_0}{v_d}\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \]①を整理すると
\[ \begin{eqnarray} \cfrac r{v_0}-\cfrac{r\cos\theta-l}{v_d}&=&\cfrac l{v_0} \\ \cfrac {rv_d}{v_0v_d}-\cfrac{(r\cos\theta-l)v_0}{v_0v_d}&=&\cfrac l{v_0} \\ \cfrac {rv_d-(r\cos\theta-l)v_0}{v_0v_d}&=&\cfrac l{v_0} \\ rv_d-(r\cos\theta-l)v_0&=&lv_d \\ rv_d-rv_0\cos\theta+lv_0&=&lv_d \\ rv_d-rv_0\cos\theta&=&lv_d-lv_0 \\ r(v_d-v_0\cos\theta)&=&l(v_d-v_0) \\ r&=&\cfrac{l(v_d-v_0)}{v_d-v_0\cos\theta} \\ &=&\cfrac{l(v_d-v_0)\frac1{v_d}}{(v_d-v_0\cos\theta)\frac1{v_d}} \\ &=&\cfrac{l(1-\frac{v_0}{v_d})}{1-\frac{v_0}{v_d}\cos\theta} \end{eqnarray} \]②を代入して
\[ \begin{eqnarray} r&=&\cfrac{l(1-n)}{1-n\cos\theta} \\ &=&\cfrac{l(-1+n)}{-1+n\cos\theta} \\ &=&\cfrac{(n-1)l}{n\cos\theta-1}\cdots\boxed{\quad\text{C}\quad} \end{eqnarray} \]