R5.7(2) A-16
次の記述は、海抜高\(\,h\,[\mathrm{m}]\,\)にある超短波(VHF)アンテナからの電波の見通し距離について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、等価半径係数を\(\,k\,\)として、等価半径係数を\(\,kR\,[\mathrm{m}]\,\)と表す。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。
図に示すように、等価地球の中心を\(\,O\,\)、アンテナの位置\(\,P\,\)から引いた等価地球への接線と等価地球との接点を\(\,Q\,\)、\(\angle POQ\,\)を\(\,\theta\,[\mathrm{rad}]\,\)及び弧\(\,QS\,\)の長さを\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とする。
- 直角三角形\(\,POQ\,\)において、次式が成り立つ。 \[ kR=(kR+h)\times\boxed{\quad\text{A}\quad}\cdots\text{①} \] 式①を\(\,kR\,\)について整理すると次式が成り立つ。 \[ h\times\boxed{\quad\text{A}\quad}=kR(1-\boxed{\quad\text{A}\quad})=2kR\times\sin^2\frac{\theta}2\cdots\text{②} \] \(\theta=\boxed{\quad\text{B}\quad}\,[\mathrm{rad}]\,\)であり、\(d\ll kR\,\)とすると、次式が成り立つ。 \[ \cos \theta\fallingdotseq 1,\sin \frac{\theta}2\fallingdotseq\frac{\theta}2\cdots\text{③} \]
- \(\theta\,\)及び式③を式②に代入すると、\(d\,\)は次式で与えられる。 \[ d\fallingdotseq\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
解法
三角関数の斜辺と角度の関係から
\[ kR=(kR+h)\cos \theta\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \]これの左辺、右辺を整理すると
\[ \begin{eqnarray} kR&=&(kR+h)\cos \theta \\ &=&kR\cos \theta + h\cos \theta \\ h\cos \theta&=&kR-kR\cos \theta \\ &=&kR(1-\cos \theta) \end{eqnarray} \]三角関数の公式\(\,\cos 2x=1-2\sin^2 x\,\)より
\[ \begin{eqnarray} h\cos \theta&=&kR(1-\cos \theta) \\ &=&kR\left\{1-\left(1-2\sin^2 \frac {\theta}2\right)\right\} \\ &=&2kR\times\sin^2 \frac {\theta}2 \end{eqnarray} \]③の近似式より、上式の左辺、右辺をそれぞれ整理すると
\[ \begin{eqnarray} h\cos \theta&\fallingdotseq&h \\ 2kR\times\sin^2 \frac {\theta}2&\fallingdotseq&2kR\times\left(\frac {\theta}2\right)^2 \\ h&\fallingdotseq&2kR\times\left(\frac {\theta}2\right)^2 \\ &=&\frac {kR\theta^2}2 \end{eqnarray} \]ここで\(\,\theta\,[\mathrm{rad}]\,\)は円弧の長さ\(\,\div\,\)半径を表すので
\[ \theta=\frac d{kR}\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \]これを代入すると
\[ \begin{eqnarray} h&\fallingdotseq&\frac {kR\theta^2}2 \\ &=&\frac {kR\left(\frac d{kR}\right)^2}2 \\ &=&\frac {d^2}{2kR} \end{eqnarray} \]よって
\[ d\fallingdotseq\sqrt{2kRh}\,[\mathrm{m}]\cdots\boxed{\quad\text{C}\quad} \]答え…4
R5.1(1) A-17
球面大地における伝搬において、見通し距離が\(\,30\,[\mathrm{km}]\,\)であるとき、送信アンテナの高さの値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、地球の表面は滑らかで、地球の半径を\(\,6,370\,[\mathrm{km}]\,\)とし、地球の等価半径係数を\(\,4/3\,\)とする。また、\(\,\cos x=1-x^2/2\,\)とする。
解法
アンテナ高を\(\,h\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、等価半径係数\(\,4/3\,\)の場合の見通し距離\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)は、次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} d&=&4.12\times10^3\times\sqrt h \\ h&=&\left(\frac d{4.12\times10^3}\right)^2 \\ &=&\left(\frac {30\times10^3}{4.12\times10^3}\right)^2 \\ &\fallingdotseq&53.0\,[\mathrm{m}] \end{eqnarray} \]答え…4
R4.1(2) A-17
球面大地における伝搬において、見通し距離が\(\,26\,[\mathrm{km}]\,\)であるとき、送信アンテナの高さの値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、地球の表面は滑らかで、地球の半径を\(\,6,370\,[\mathrm{km}]\,\)とし、地球の等価半径係数を\(\,4/3\,\)とする。また、\(\,\cos x=1-x^2/2\,\)とする。
解法
アンテナ高を\(\,h\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、等価半径係数\(\,4/3\,\)の場合の見通し距離\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)は、次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} d&=&4.12\times10^3\times\sqrt h \\ h&=&\left(\frac d{4.12\times10^3}\right)^2 \\ &=&\left(\frac {26\times10^3}{4.12\times10^3}\right)^2 \\ &\fallingdotseq&39.8\,[\mathrm{m}] \end{eqnarray} \]答え…3
R3.1(1) A-14
次の記述は、海抜高\(\,h\,[\mathrm{m}]\,\)にある超短波(VHF)アンテナからの電波の見通し距離について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、等価半径係数を\(\,k\,\)として、等価半径係数を\(\,kR\,[\mathrm{m}]\,\)と表す。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。
図に示すように、等価地球の中心を\(\,O\,\)、アンテナの位置\(\,P\,\)から引いた等価地球への接線と等価地球との接点を\(\,Q\,\)、\(\angle POQ\,\)を\(\,\theta\,[\mathrm{rad}]\,\)及び弧\(\,QS\,\)の長さを\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とする。
- 直角三角形\(\,POQ\,\)において、次式が成り立つ。 \[ kR=(kR+h)\times\boxed{\quad\text{A}\quad}\cdots\text{①} \] 式①を\(\,kR\,\)について整理すると次式が成り立つ。 \[ h\times\boxed{\quad\text{A}\quad}=kR(1-\boxed{\quad\text{A}\quad})=2kR\times\sin^2\frac{\theta}2\cdots\text{②} \] \(\theta=\boxed{\quad\text{B}\quad}\,[\mathrm{rad}]\,\)であり、\(d\ll kR\,\)とすると、次式が成り立つ。 \[ \cos \theta\fallingdotseq 1,\sin \frac{\theta}2\fallingdotseq\frac{\theta}2\cdots\text{③} \]
- \(\theta\,\)及び式③を式②に代入すると、\(d\,\)は次式で与えられる。 \[ d\fallingdotseq\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
解法
三角関数の斜辺と角度の関係から
\[ kR=(kR+h)\cos \theta\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \]これの左辺、右辺を整理すると
\[ \begin{eqnarray} kR&=&(kR+h)\cos \theta \\ &=&kR\cos \theta + h\cos \theta \\ h\cos \theta&=&kR-kR\cos \theta \\ &=&kR(1-\cos \theta) \end{eqnarray} \]三角関数の公式\(\,\cos 2x=1-2\sin^2 x\,\)より
\[ \begin{eqnarray} h\cos \theta&=&kR(1-\cos \theta) \\ &=&kR\left\{1-\left(1-2\sin^2 \frac {\theta}2\right)\right\} \\ &=&2kR\times\sin^2 \frac {\theta}2 \end{eqnarray} \]③の近似式より、上式の左辺、右辺をそれぞれ整理すると
\[ \begin{eqnarray} h\cos \theta&\fallingdotseq&h \\ 2kR\times\sin^2 \frac {\theta}2&\fallingdotseq&2kR\times\left(\frac {\theta}2\right)^2 \\ h&\fallingdotseq&2kR\times\left(\frac {\theta}2\right)^2 \\ &=&\frac {kR\theta^2}2 \end{eqnarray} \]ここで\(\,\theta\,[\mathrm{rad}]\,\)は円弧の長さ\(\,\div\,\)半径を表すので
\[ \theta=\frac d{kR}\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \]これを代入すると
\[ \begin{eqnarray} h&\fallingdotseq&\frac {kR\theta^2}2 \\ &=&\frac {kR\left(\frac d{kR}\right)^2}2 \\ &=&\frac {d^2}{2kR} \end{eqnarray} \]よって
\[ d\fallingdotseq\sqrt{2kRh}\,[\mathrm{m}]\cdots\boxed{\quad\text{C}\quad} \]答え…5
R2.11(1) A-16
球面大地における伝搬において、見通し距離が\(\,32\,[\mathrm{km}]\,\)であるとき、送信アンテナの高さの値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、地球の表面は滑らかで、地球の半径を\(\,6,370\,[\mathrm{km}]\,\)とし、地球の等価半径係数を\(\,4/3\,\)とする。また、\(\,\cos x=1-x^2/2\,\)とする。
解法
アンテナ高を\(\,h\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、等価半径係数\(\,4/3\,\)の場合の見通し距離\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)は、次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} d&=&4.12\times10^3\times\sqrt h \\ h&=&\left(\frac d{4.12\times10^3}\right)^2 \\ &=&\left(\frac {32\times10^3}{4.12\times10^3}\right)^2 \\ &=&60\,[\mathrm{m}] \end{eqnarray} \]答え…4
H30.1 A-15
次の記述は、海抜高\(\,h\,[\mathrm{m}]\,\)にある超短波(VHF)アンテナからの電波の見通し距離について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、等価半径係数を\(\,k\,\)として、等価半径係数を\(\,kR\,[\mathrm{m}]\,\)と表す。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。
図に示すように、等価地球の中心を\(\,O\,\)、アンテナの位置\(\,P\,\)から引いた等価地球への接線と等価地球との接点を\(\,Q\,\)、\(\angle POQ\,\)を\(\,\theta\,[\mathrm{rad}]\,\)及び弧\(\,QS\,\)の長さを\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とする。
- 直角三角形\(\,POQ\,\)において、次式が成り立つ。 \[ kR=(kR+h)\times\boxed{\quad\text{A}\quad}\cdots\text{①} \] 式①を\(\,kR\,\)について整理すると次式が成り立つ。 \[ h\times\boxed{\quad\text{A}\quad}=kR(1-\boxed{\quad\text{A}\quad})=2kR\times\sin^2\frac{\theta}2\cdots\text{②} \] \(\theta=\boxed{\quad\text{B}\quad}\,[\mathrm{rad}]\,\)であり、\(d\ll kR\,\)とすると、次式が成り立つ。 \[ \cos \theta\fallingdotseq 1,\sin \frac{\theta}2\fallingdotseq\frac{\theta}2\cdots\text{③} \]
- \(\theta\,\)及び式③を式②に代入すると、\(d\,\)は次式で与えられる。 \[ d\fallingdotseq\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
解法
三角関数の斜辺と角度の関係から
\[ kR=(kR+h)\cos \theta\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \]これの左辺、右辺を整理すると
\[ \begin{eqnarray} kR&=&(kR+h)\cos \theta \\ &=&kR\cos \theta + h\cos \theta \\ h\cos \theta&=&kR-kR\cos \theta \\ &=&kR(1-\cos \theta) \end{eqnarray} \]三角関数の公式\(\,\cos 2x=1-2\sin^2 x\,\)より
\[ \begin{eqnarray} h\cos \theta&=&kR(1-\cos \theta) \\ &=&kR\left\{1-\left(1-2\sin^2 \frac {\theta}2\right)\right\} \\ &=&2kR\times\sin^2 \frac {\theta}2 \end{eqnarray} \]③の近似式より、上式の左辺、右辺をそれぞれ整理すると
\[ \begin{eqnarray} h\cos \theta&\fallingdotseq&h \\ 2kR\times\sin^2 \frac {\theta}2&\fallingdotseq&2kR\times\left(\frac {\theta}2\right)^2 \\ h&\fallingdotseq&2kR\times\left(\frac {\theta}2\right)^2 \\ &=&\frac {kR\theta^2}2 \end{eqnarray} \]ここで\(\,\theta\,[\mathrm{rad}]\,\)は円弧の長さ\(\,\div\,\)半径を表すので
\[ \theta=\frac d{kR}\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \]これを代入すると
\[ \begin{eqnarray} h&\fallingdotseq&\frac {kR\theta^2}2 \\ &=&\frac {kR\left(\frac d{kR}\right)^2}2 \\ &=&\frac {d^2}{2kR} \end{eqnarray} \]よって
\[ d\fallingdotseq\sqrt{2kRh}\,[\mathrm{m}]\cdots\boxed{\quad\text{C}\quad} \]答え…3
H28.7 A-16
球面大地における伝搬において、見通し距離が\(\,30\,[\mathrm{km}]\,\)であるとき、送信アンテナの高さの値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、地球の表面は滑らかで、地球の半径を\(\,6,370\,[\mathrm{km}]\,\)とし、地球の等価半径係数を\(\,4/3\,\)とする。また、\(\,\cos x=1-x^2/2\,\)とする。
解法
アンテナ高を\(\,h\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、等価半径係数\(\,4/3\,\)の場合の見通し距離\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)は、次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} d&=&4.12\times10^3\times\sqrt h \\ h&=&\left(\frac d{4.12\times10^3}\right)^2 \\ &=&\left(\frac {30\times10^3}{4.12\times10^3}\right)^2 \\ &=&53\,[\mathrm{m}] \end{eqnarray} \]