R5.7(2) A-6
直径\(\,2\,[\mathrm{mm}]\,\)、線間隔\(\,10\,[\mathrm{cm}]\,\)の終端を短絡した無損失の平行二線式給電線において、終端から長さ\(\,1.25\,[\mathrm{m}]\,\)のところから終端を見たインピーダンスと等価となるコイルのインダクタンスの値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、周波数を\(\,20\,[\mathrm{MHz}]\,\)とする。
解法
平行二線式線路の特性インピーダンス\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、線間隔を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、線の直径を\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、次式で与えられる。
\[ Z_0=276\log_{10}\cfrac{2D}d\,[\mathrm{\Omega}] \]代入して
\[ \begin{eqnarray} Z_0&=&276\log_{10}\cfrac{2D}d \\ &=&276\log_{10}\cfrac{2\times10\times10^{-2}}{2\times10^{-3}} \\ &=&276\log_{10}\cfrac{2\times10^{-1}}{2\times10^{-3}} \\ &=&276\log_{10}10^2 \\ &=&276\times2 \\ &=&552 \end{eqnarray} \]終端を短絡した線路の終端から長さ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)のところから終端を見たインピーダンス\(\,Z\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、線路の位相定数を\(\,\beta\,\)とすると
\[ Z=jZ_0\tan(\beta l) \]ここで、無損失の平行二線式給電線の場合
\[ \beta=\cfrac{2\pi}{\lambda} \]となるから、代入して
\[ \begin{eqnarray} Z&=&jZ_0\tan(\beta l) \\ &=&j552\tan\left(\cfrac{2\pi}{\frac{300}{20}}\times1.25\right) \\ &=&j552\tan\left(\cfrac{2\pi}{15}\times1.25\right) \\ &=&j552\tan\cfrac{\pi}6 \\ &=&j552\frac1{\sqrt3} \end{eqnarray} \]求めるインダクタンスを\(\,L\,\)とすると、そのインピーダンスが\(\,Z\,\)と等価であるから
\[ \begin{eqnarray} j\omega L&=&Z \\ L&=&\cfrac Z{j\omega} \end{eqnarray} \]ここで\(\,\omega\,\)は角速度であり、\(\,\omega=2\pi f\,\)で表されるので、代入して
\[ \begin{eqnarray} L&=&\cfrac{j552\frac1{\sqrt3}}{j(2\pi\times20\times10^6)} \\ &=&\cfrac{552}{4\sqrt3\pi\times10^7} \\ &=&\cfrac{138}{\sqrt3\pi\times10^7} \\ &\fallingdotseq&\cfrac{138}{5.44}\times10^{-7} \\ &=&25.4\times10^{-7}\,[\mathrm{H}] \\ &=&2.5\,[\mathrm{\mu H}] \\ \end{eqnarray} \]答え…5
R5.7(1) A-6
直径\(\,6\,[\mathrm{mm}]\,\)、線間隔\(\,30\,[\mathrm{cm}]\,\)の終端を開放した無損失の平行二線式給電線がある。この終端から長さ\(\,2.5\,[\mathrm{m}]\,\)のところから終端を見たインピーダンスと等価となるコンデンサの静電容量の値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、周波数を\(\,20\,[\mathrm{MHz}]\,\)とする。
解法
平行二線式線路の特性インピーダンス\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、線間隔を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、線の直径を\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、次式で与えられる。
\[ Z_0=276\log_{10}\cfrac{2D}d\,[\mathrm{\Omega}] \]代入して
\[ \begin{eqnarray} Z_0&=&276\log_{10}\cfrac{2D}d \\ &=&276\log_{10}\cfrac{2\times30\times10^{-2}}{6\times10^{-3}} \\ &=&276\log_{10}\cfrac{10\times10^{-2}}{10^{-3}} \\ &=&276\log_{10}10^2 \\ &=&276\times2 \\ &=&552 \end{eqnarray} \]終端を開放した線路の終端から長さ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)のところから終端を見たインピーダンス\(\,Z\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、線路の位相定数を\(\,\beta\,\)とすると
\[ Z=-jZ_0\cot(\beta l) \]ここで、無損失の平行二線式給電線の場合
\[ \beta=\cfrac{2\pi}{\lambda} \]となるから、代入して
\[ \begin{eqnarray} Z&=&-jZ_0\cot(\beta l) \\ &=&-j552\cot\left(\cfrac{2\pi}{\frac{300}{20}}\times2.5\right) \\ &=&-j552\cot\left(\cfrac{2\pi}{15}\times2.5\right) \\ &=&-j552\cot\left(\cfrac{2\pi}{3}\times0.5\right) \\ &=&-j552\cot\left(\cfrac{\pi}3\right) \\ &=&-j552\cfrac1{\tan\left(\cfrac{\pi}3\right)} \\ &=&-j\cfrac{552}{\sqrt3} \\ &=& \end{eqnarray} \]求める静電容量を\(\,C\,\)とすると、その静電容量が\(\,Z\,\)と等価であるから
\[ \begin{eqnarray} -j\cfrac 1{\omega C}&=&Z \\ C&=&-j\cfrac 1{\omega Z} \end{eqnarray} \]ここで\(\,\omega\,\)は角速度であり、\(\,\omega=2\pi f\,\)で表されるので
\[ \begin{eqnarray} C&=&-j\cfrac1{2\pi\times(20\times10^6)\times(-j)\frac{552}{\sqrt3}} \\ &=&\cfrac1{2\pi\times(20\times10^6)\times\frac{552}{\sqrt3}} \\ &\fallingdotseq&\cfrac{\sqrt3}{2\times20\times10^6\times552}\times0.318 \\ &=&\cfrac{\sqrt3}{2\times2\times10^7\times552}\times0.318 \\ &=&\cfrac{\sqrt3}{4\times552}\times0.318\times10^{-7} \\ &=&\cfrac{0.550}{2208}\times10^{-7} \\ &=&\cfrac{550}{2208}\times10^{-10} \\ &\fallingdotseq&0.249\times10^{-10} \\ &=&24.9\times10^{-12}\,[\mathrm{F}] \\ &=&24.9\,[\mathrm{pF}] \end{eqnarray} \]答え…3
R3.7(2) A-8
直径\(\,4\,[\mathrm{mm}]\,\)、線間隔\(\,20\,[\mathrm{cm}]\,\)の終端を短絡した無損失の平行二線式給電線において、終端から長さ\(\,2.5\,[\mathrm{m}]\,\)のところから終端を見たインピーダンスと等価となるコイルのインダクタンスの値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、周波数を\(\,15\,[\mathrm{MHz}]\,\)とする。
解法
平行二線式線路の特性インピーダンス\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、線間隔を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、線の直径を\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、次式で与えられる。
\[ Z_0=276\log_{10}\cfrac{2D}d\,[\mathrm{\Omega}] \]代入して
\[ \begin{eqnarray} Z_0&=&276\log_{10}\cfrac{2D}d \\ &=&276\log_{10}\cfrac{2\times20\times10^{-2}}{4\times10^{-3}} \\ &=&276\log_{10}\cfrac {4\times10^{-1}}{4\times10^{-3}} \\ &=&276\log_{10}10^2 \\ &=&276\times2 \\ &=&552 \end{eqnarray} \]終端を短絡した線路の終端から長さ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)のところから終端を見たインピーダンス\(\,Z\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、線路の位相定数を\(\,\beta\,\)とすると
\[ Z=jZ_0\tan(\beta l) \]ここで、無損失の平行二線式給電線の場合
\[ \beta=\cfrac{2\pi}{\lambda} \]となるから、代入して
\[ \begin{eqnarray} Z&=&jZ_0\tan(\beta l) \\ &=&j552\tan\left(\cfrac{2\pi}{\frac{300}{15}}\times2.5\right) \\ &=&j552\tan\left(\cfrac{2\pi}{20}\times2.5\right) \\ &=&j552\tan\cfrac{\pi}4 \\ &=&j552 \end{eqnarray} \]求めるインダクタンスを\(\,L\,\)とすると、そのインピーダンスが\(\,Z\,\)と等価であるから
\[ \begin{eqnarray} j\omega L&=&Z \\ L&=&\cfrac Z{j\omega} \end{eqnarray} \]ここで\(\,\omega\,\)は角速度であり、\(\,\omega=2\pi f\,\)で表されるので、代入して
\[ \begin{eqnarray} L&=&\cfrac{j552}{j(2\pi\times15\times10^6)} \\ &=&\cfrac{552}{3\pi\times10^7} \\ &\fallingdotseq&\cfrac{552}{3\times10^7}\times0.318 \\ &=&184\times0.318\times10^{-7} \\ &=&58.5\times10^{-7}\,[\mathrm{H}] \\ &=&5.9\,[\mathrm{\mu H}] \\ \end{eqnarray} \]答え…4
R3.7(1) A-6
直径\(\,4\,[\mathrm{mm}]\,\)、線間隔\(\,20\,[\mathrm{cm}]\,\)の終端を開放した無損失の平行二線式給電線がある。この終端から長さ\(\,1.25\,[\mathrm{m}]\,\)のところから終端を見たインピーダンスと等価となるコンデンサの静電容量の値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、周波数を\(\,30\,[\mathrm{MHz}]\,\)とする。
解法
平行二線式線路の特性インピーダンス\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、線間隔を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、線の直径を\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、次式で与えられる。
\[ Z_0=276\log_{10}\cfrac{2D}d\,[\mathrm{\Omega}] \]代入して
\[ \begin{eqnarray} Z_0&=&276\log_{10}\cfrac{2D}d \\ &=&276\log_{10}\cfrac{2\times20\times10^{-2}}{4\times10^{-3}} \\ &=&276\log_{10}\cfrac {4\times10^{-1}}{4\times10^{-3}} \\ &=&276\log_{10}10^2 \\ &=&276\times2 \\ &=&552 \end{eqnarray} \]終端を開放した線路の終端から長さ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)のところから終端を見たインピーダンス\(\,Z\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、線路の位相定数を\(\,\beta\,\)とすると
\[ Z=-jZ_0\cot(\beta l) \]ここで、無損失の平行二線式給電線の場合
\[ \beta=\cfrac{2\pi}{\lambda} \]となるから、代入して
\[ \begin{eqnarray} Z&=&-jZ_0\cot(\beta l) \\ &=&-j552\cot\left(\cfrac{2\pi}{\frac{300}{30}}\times1.25\right) \\ &=&-j552\cot\left(\cfrac{2\pi}{10}\times1.25\right) \\ &=&-j552\cot\left(\cfrac{2.5\pi}{10}\right) \\ &=&-j552\cot\left(\cfrac{\pi}4\right) \\ &=&-j552\cfrac1{\tan\left(\cfrac{\pi}4\right)} \\ &=&-j552 \end{eqnarray} \]求める静電容量を\(\,C\,\)とすると、その静電容量が\(\,Z\,\)と等価であるから
\[ \begin{eqnarray} -j\cfrac 1{\omega C}&=&Z \\ C&=&-j\cfrac 1{\omega Z} \end{eqnarray} \]ここで\(\,\omega\,\)は角速度であり、\(\,\omega=2\pi f\,\)で表されるので
\[ \begin{eqnarray} C&=&-j\cfrac1{2\pi\times(30\times10^6)\times(-j)552} \\ &=&\cfrac1{2\pi\times(30\times10^6)\times552} \\ &\fallingdotseq&\cfrac1{2\times30\times10^6\times552}\times0.318 \\ &=&\cfrac1{2\times3\times10^7\times552}\times0.318 \\ &=&\cfrac1{6\times552}\times0.318\times10^{-7} \\ &=&\cfrac{0.318}{3312}\times10^{-7} \\ &=&\cfrac{318}{3312}\times10^{-10} \\ &\fallingdotseq&0.096\times10^{-10} \\ &=&9.6\times10^{-12}\,[\mathrm{F}] \\ &=&10\,[\mathrm{pF}] \end{eqnarray} \]答え…1
R2.11(2) A-6
直径\(\,4\,[\mathrm{mm}]\,\)、線間隔\(\,20\,[\mathrm{cm}]\,\)の終端を短絡した無損失の平行二線式給電線において、終端から長さ\(\,5\,[\mathrm{m}]\,\)のところから終端を見たインピーダンスと等価となるコイルのインダクタンスの値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、周波数を\(\,10\,[\mathrm{MHz}]\,\)とする。
解法
平行二線式線路の特性インピーダンス\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、線間隔を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、線の直径を\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、次式で与えられる。
\[ Z_0=276\log_{10}\cfrac{2D}d\,[\mathrm{\Omega}] \]代入して
\[ \begin{eqnarray} Z_0&=&276\log_{10}\cfrac{2D}d \\ &=&276\log_{10}\cfrac{2\times20\times10^{-2}}{4\times10^{-3}} \\ &=&276\log_{10}\cfrac {4\times10^{-1}}{4\times10^{-3}} \\ &=&276\log_{10}10^2 \\ &=&276\times2 \\ &=&552 \end{eqnarray} \]終端を短絡した線路の終端から長さ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)のところから終端を見たインピーダンス\(\,Z\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、線路の位相定数を\(\,\beta\,\)とすると
\[ Z=jZ_0\tan(\beta l) \]ここで、無損失の平行二線式給電線の場合
\[ \beta=\cfrac{2\pi}{\lambda} \]となるから、代入して
\[ \begin{eqnarray} Z&=&jZ_0\tan(\beta l) \\ &=&j552\tan\left(\cfrac{2\pi}{\frac{300}{10}}\times5\right) \\ &=&j552\tan\left(\cfrac{2\pi}{30}\times5\right) \\ &=&j552\tan\left(\cfrac{2\pi}6\right) \\ &=&j552\tan\left(\cfrac{\pi}{3}\right) \\ &=&j552\sqrt3 \\ \end{eqnarray} \]求めるインダクタンスを\(\,L\,\)とすると、そのインピーダンスが\(\,Z\,\)と等価であるから
\[ \begin{eqnarray} j\omega L&=&Z \\ L&=&\cfrac Z{j\omega} \end{eqnarray} \]ここで\(\,\omega\,\)は角速度であり、\(\,\omega=2\pi f\,\)で表されるので、代入して
\[ \begin{eqnarray} L&=&\cfrac {j552\sqrt3}{j(2\pi\times10\times10^6)} \\ &=&\cfrac {552\sqrt3}{2\pi\times10^7} \\ &\fallingdotseq&\cfrac {552\sqrt3}{2\times10^7}\times0.318 \\ &=&\cfrac {552\sqrt3}2\times0.318\times10^{-7} \\ &=&276\sqrt3\times0.318\times10^{-7} \\ &=&138\times2\times\sqrt3\times0.318\times10^{-7} \\ &\fallingdotseq&138\times1.1\times10^{-7} \\ &=&152\times10^{-7} \\ &=&15.2\times10\times10^{-7}\,[\mathrm{H}] \\ &=&15.2\,[\mathrm{\mu H}] \\ \end{eqnarray} \]答え…2
R1.7 A-6
直径\(\,4\,[\mathrm{mm}]\,\)、線間隔\(\,20\,[\mathrm{cm}]\,\)の終端を開放した無損失の平行二線式給電線がある。この終端から長さ\(\,2.5\,[\mathrm{m}]\,\)のところから終端を見たインピーダンスと等価となるコンデンサの静電容量の値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、周波数を\(\,20\,[\mathrm{MHz}]\,\)とする。
解法
平行二線式線路の特性インピーダンス\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、線間隔を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、線の直径を\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、次式で与えられる。
\[ Z_0=276\log_{10}\cfrac{2D}d\,[\mathrm{\Omega}] \]代入して
\[ \begin{eqnarray} Z_0&=&276\log_{10}\cfrac{2D}d \\ &=&276\log_{10}\cfrac{2\times20\times10^{-2}}{4\times10^{-3}} \\ &=&276\log_{10}\cfrac {4\times10^{-1}}{4\times10^{-3}} \\ &=&276\log_{10}10^2 \\ &=&276\times2 \\ &=&552 \end{eqnarray} \]終端を開放した線路の終端から長さ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)のところから終端を見たインピーダンス\(\,Z\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は、線路の位相定数を\(\,\beta\,\)とすると
\[ Z=-jZ_0\cot(\beta l) \]ここで、無損失の平行二線式給電線の場合
\[ \beta=\cfrac{2\pi}{\lambda} \]となるから、代入して
\[ \begin{eqnarray} Z&=&-jZ_0\cot(\beta l) \\ &=&-j552\cot\left(\cfrac{2\pi}{\frac{300}{20}}\times2.5\right) \\ &=&-j552\cot\left(\cfrac{2\pi}{\frac{30}{2}}\times2.5\right) \\ &=&-j552\cot\left(\cfrac{2\pi\times2}{30}\times2.5\right) \\ &=&-j552\cot\left(\cfrac{2\pi}{30}\times5\right) \\ &=&-j552\cot\left(\cfrac{2\pi}{6}\right) \\ &=&-j552\cot\left(\cfrac{\pi}3\right) \\ &=&-j552\cfrac 1{\tan\left(\cfrac{\pi}3\right)} \\ &=&-j552\cfrac 1{\sqrt3} \\ &=&-j\cfrac{552}{\sqrt3} \\ \end{eqnarray} \]求める静電容量を\(\,C\,\)とすると、その静電容量が\(\,Z\,\)と等価であるから
\[ \begin{eqnarray} -j\cfrac 1{\omega C}&=&Z \\ C&=&-j\cfrac 1{\omega Z} \end{eqnarray} \]ここで\(\,\omega\,\)は角速度であり、\(\,\omega=2\pi f\,\)で表されるので
\[ \begin{eqnarray} C&=&-j\cfrac 1{2\pi\times(20\times10^6)\times(-j)\cfrac{552}{\sqrt3}} \\ &=&\cfrac {\sqrt3}{2\pi\times(20\times10^6)\times552} \\ &\fallingdotseq&\cfrac {\sqrt3}{2\times20\times10^6\times552}\times0.318 \\ &=&\cfrac {\sqrt3}{2\times2\times10^7\times552}\times0.318 \\ &=&\cfrac {\sqrt3}{4\times552}\times0.318\times10^{-7} \\ &=&\cfrac {2\times\sqrt3\times0.318}{2\times4\times552}\times10^{-7} \\ &\fallingdotseq&\cfrac {1.1}{2\times4\times552}\times10^{-7} \\ &=&\cfrac {1.1}{8\times552}\times10^{-7} \\ &=&\cfrac {1.1}{4416}\times10^{-7} \\ &=&\cfrac {1.1}{4.416\times10^3}\times10^{-7} \\ &=&\cfrac {1.1}{4.416}\times10^{-10} \\ &=&0.249\times10^{-10} \\ &=&24.9\times10^{-12}\,[\mathrm{F}] \\ &=&24.9\,[\mathrm{pF}] \end{eqnarray} \]