R6.1 A-15
次の記述は、フレネルゾーンについて述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。
- 図において、距離\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)離れた送信点\(\,T\,\)と受信点\(\,R\,\)を結ぶ線分\(\,TR\,\)上の点\(\,O\,\)を含み、線分\(\,TR\,\)に垂直な平面\(\,S\,\)がある。\(S\,\)上の点\(\,P\,\)を通る電波の通路長\(\,(TP+PR)\,\)と\(\,\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)との通路差が\(\,\lambda/2\,\)の整数倍となる点\(\,P\,\)の軌跡は、\(S\,\)面上で複数の同心円となる。また、\(S\,\)が線分\(\,TR\,\)上を移動したとき、\(T\,\)、\(R\,\)を焦点とし、線分\(\,TR\,\)を回転軸とする回転楕円体となる。ただし、\(TO\,\)、\(OR\,\)の距離をそれぞれ\(\,d_1\,[\mathrm{m}]\,\)、\(\,d_2\,[\mathrm{m}]\,\)、また、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とする。
- 回転楕円体に囲まれた領域をフレネルゾーンと言い、最も内側の領域を第\(\,1\,\)フレネルゾーン、以下、第\(\,2\,\)、第\(\,3\,\)、･･･、第\(\,n\,\)フレネルゾーンという。第\(\,n\,\)フレネルゾーンの円の半径は、約\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)となる。
- 見通し内で無線回線を設定する場合には自由空間に近い良好な伝搬路を保つ必要があり、一般には、少なくとも障害物が第1フレネルゾーンに入らないようにクリアランスを設ける必要がある。
\[
\begin{array}{r c c}
&\text{A}&\text{B} \\
1&d-d_1&\sqrt{\cfrac{d_1d_2}{n\lambda d}} \\
2&d-d_2&\sqrt{\cfrac{2\lambda d_1d_2}{nd}} \\
3&d&\sqrt{n\lambda\cfrac{d_1d_2}d} \\
4&d&\sqrt{\cfrac{2\lambda d_1d_2}{nd}} \\
5&d-d_1&\sqrt{n\lambda\cfrac{d_1d_2}d}
\end{array}
\]
解法
問題文を根気よく読みましょう。\(\,\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)の選択肢をよく見ると、\(d-d_1=d_2\,\)、\(d-d_2=d_1\,\)なので、迷わず\(\,d\,\)になるものを選びましょう。
\(\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)については、同心円の内側から第\(\,1\,\)、第\(\,2\,\)、第\(\,n\,\)と数えていくときの\(\,n\,\)の半径を問われているので、分数の分母側に入ることはないと考えれば、回答は定まるはず。
答え…4
R4.7(1) A-14
次の記述は、図に示す第1フレネルゾーンについて述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。
- 送信点\(\,T\,\)から受信点\(\,R\,\)方向に測った距離\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)の地点における第1フレネルゾーンの回転楕円体の断面の半径\(\,r\,[\mathrm{m}]\,\)は、送受信点間の距離を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、次式で与えられる。 \[ r=\boxed{\quad\text{A}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
- 周波数が\(\,10\,[\mathrm{GHz}]\,\)、\(d\,\)が\(\,15\,[\mathrm{km}]\,\)の地点での\(\,r\,\)が\(\,15\,[\mathrm{m}]\,\)となるとき、送受信点間の距離\(\,D\,\)は約\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,[\mathrm{km}]\,\)である。
\[
\begin{array}{r c c}
&\text{A}&\text{B} \\
1&\sqrt{\lambda d\left(\cfrac Dd-1\right)}&6 \\
2&\sqrt{\lambda d\left(\cfrac Dd-1\right)}&12 \\
3&\sqrt{\lambda d\left(\cfrac Dd-1\right)}&18 \\
4&\sqrt{\lambda d\left(1-\cfrac dD\right)}&24 \\
5&\sqrt{\lambda d\left(1-\cfrac dD\right)}&30 \\
\end{array}
\]
解法
問題図において、\(d\,\)における半径\(\,r\,\)の円周上の点を\(\,P\,\)をとすると、\(\overline{TP}+\overline{PR}\,\)の距離と\(\,D\,\)との通路差が半波長\(\,(\lambda/2)\,\)となるときなので
\[ \overline{TP}+\overline{PR}-D=\sqrt{d^2+r^2}+\sqrt{(D-d)^2+r^2}-D=\cfrac{\lambda}2 \]ここで、\(d\gg r\,\)、\(D\gg r\,\)とすれば、二項定理より次式となる。
\[ \begin{eqnarray} \sqrt{d^2+r^2}&=&\sqrt{d^2\left(1+\frac{r^2}{d^2}\right)} \\ &=&\left\{d^2\left(1+\frac{r^2}{d^2}\right)\right\}^{\frac 12} \\ &=&d\left(1+\frac{r^2}{d^2}\right)^{\frac 12} \\ &\fallingdotseq&d\left(1+\frac 12\times\frac{r^2}{d^2}\right) \\ &=&d+\frac{r^2}{2d} \end{eqnarray} \] \[ \begin{eqnarray} \sqrt{(D-d)^2+r^2}&=&\sqrt{(D-d)^2\left(1+\frac{r^2}{(D-d)^2}\right)} \\ &=&\left\{(D-d)^2\left(1+\frac{r^2}{(D-d)^2}\right)\right\}^{\frac 12} \\ &=&(D-d)\left\{1+\frac{r^2}{(D-d)^2}\right\}^{\frac 12} \\ &\fallingdotseq&(D-d)\left\{1+\frac 12\times\frac{r^2}{(D-d)^2}\right\} \\ &=&(D-d)+\frac{r^2}{2(D-d)} \end{eqnarray} \] \[ \begin{eqnarray} \sqrt{d^2+r^2}+\sqrt{(D-d)^2+r^2}-D&=&d+\frac{r^2}{2d}+(D-d)+\frac{r^2}{2(D-d)}-D&=&\cfrac{\lambda}2 \\ &=&\frac{r^2}{2d}+\frac{r^2}{2(D-d)}&=&\cfrac{\lambda}2 \\ &=&\frac{r^2}2\left\{\frac 1d+\frac 1{D-d}\right\}&=&\cfrac{\lambda}2 \\ &=&\frac{r^2}2\left\{\frac {D-d}{d(D-d)}+\frac d{d(D-d)}\right\}&=&\cfrac{\lambda}2 \\ &=&\frac{r^2}2\left\{\frac D{d(D-d)}\right\}&=&\cfrac{\lambda}2 \end{eqnarray} \] \[ \begin{eqnarray} \frac{r^2}2&=&\cfrac{\lambda}2\left\{\frac {d(D-d)}D\right\} \\ r^2&=&\lambda\frac {d(D-d)}D \\ &=&\lambda d\frac {D-d}D \\ &=&\lambda d\left(1-\frac dD\right) \\ r&=&\sqrt{\lambda d\left(1-\frac dD\right)}\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \\ \end{eqnarray} \]周波数\(\,10\,[\mathrm{GHz}]\,\)、\(d=15\,[\mathrm{km}]\,\)、\(r=15\,[\mathrm{m}]\,\)を代入すると
\[ \begin{eqnarray} 15&=&\sqrt{\frac{300}{10\times10^3}\times15\times 10^3\times\left(1-\frac {15\times10^3}D\right)} \\ &=&\sqrt{\frac{300}{10}\times15\times\left(1-\frac {15\times10^3}D\right)} \\ &=&\sqrt{30\times15\times\left(1-\frac {15\times10^3}D\right)} \\ 15^2&=&30\times15\times\left(1-\frac {15\times10^3}D\right) \\ 1&=&2\times\left(1-\frac {15\times10^3}D\right) \\ \cfrac12&=&1-\frac {15\times10^3}D \\ -\cfrac12&=&-\frac {15\times10^3}D \\ \cfrac12&=&\frac {15\times10^3}D \\ \cfrac D2&=&15\times10^3 \\ D&=&30\times10^3 \\ &=&30\,[\mathrm{km}]\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \end{eqnarray} \]答え…5
R4.1(1) A-15
次の記述は、フレネルゾーンについて述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。
- 図において、距離\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)離れた送信点\(\,T\,\)と受信点\(\,R\,\)を結ぶ線分\(\,TR\,\)上の点\(\,O\,\)を含み、線分\(\,TR\,\)に垂直な平面\(\,S\,\)がある。\(S\,\)上の点\(\,P\,\)を通る電波の通路長\(\,(TP+PR)\,\)と\(\,\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)との通路差が\(\,\lambda/2\,\)の整数倍となる点\(\,P\,\)の軌跡は、\(S\,\)面上で複数の同心円となる。また、\(S\,\)が線分\(\,TR\,\)上を移動したとき、\(T\,\)、\(R\,\)を焦点とし、線分\(\,TR\,\)を回転軸とする回転楕円体となる。ただし、\(TO\,\)、\(OR\,\)の距離をそれぞれ\(\,d_1\,[\mathrm{m}]\,\)、\(\,d_2\,[\mathrm{m}]\,\)、また、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とする。
- 回転楕円体に囲まれた領域をフレネルゾーンと言い、最も内側の領域を第\(\,1\,\)フレネルゾーン、以下、第\(\,2\,\)、第\(\,3\,\)、第\(\,n\,\)フレネルゾーンという。第\(\,n\,\)フレネルゾーンの円の半径は、約\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)となる。
- 見通し内で無線回線を設定する場合には自由空間に近い良好な伝搬路を保つ必要があり、一般には、少なくとも障害物が第1フレネルゾーンに入らないようにクリアランスを設ける必要がある。
\[
\begin{array}{r c c}
&\text{A}&\text{B} \\
1&d-d_1&\sqrt{\cfrac{d_1d_2}{n\lambda d}} \\
2&d-d_2&\sqrt{n\lambda\cfrac{d_1d_2}d} \\
3&d-d_1&\sqrt{\cfrac{2\lambda d_1d_2}{nd}} \\
4&d&\sqrt{\cfrac{2\lambda d_1d_2}{nd}} \\
5&d&\sqrt{n\lambda\cfrac{d_1d_2}d}
\end{array}
\]
解法
問題文を根気よく読みましょう。\(\,\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)の選択肢をよく見ると、\(d-d_1=d_2\,\)、\(d-d_2=d_1\,\)なので、迷わず\(\,d\,\)になるものを選びましょう。
\(\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)については、同心円の内側から第\(\,1\,\)、第\(\,2\,\)、第\(\,n\,\)と数えていくときの\(\,n\,\)の半径を問われているので、分数の分母側に入ることはないと考えれば、回答は定まるはず。
答え…5
R3.1(1) A-17
次の記述は、図に示す第1フレネルゾーンについて述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。
- 送信点\(\,T\,\)から受信点\(\,R\,\)方向に測った距離\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)の地点における第1フレネルゾーンの回転楕円体の断面の半径\(\,r\,[\mathrm{m}]\,\)は、送受信点間の距離を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、次式で与えられる。 \[ r=\boxed{\quad\text{A}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
- 周波数が\(\,15\,[\mathrm{GHz}]\,\)、\(D\,\)が\(\,30\,[\mathrm{km}]\,\)であるとき、\(d\,\)が\(\,12\,[\mathrm{km}]\,\)の地点での\(\,r\,\)は、約\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)である。
\[
\begin{array}{r c c}
&\text{A}&\text{B} \\
1&\sqrt{\lambda d\left(1-\cfrac dD\right)}&6 \\
2&\sqrt{\lambda d\left(1-\cfrac dD\right)}&12 \\
3&\sqrt{\lambda d\left(1-\cfrac dD\right)}&24 \\
4&\sqrt{\lambda d\left(\cfrac Dd-1\right)}&36 \\
5&\sqrt{\lambda d\left(\cfrac Dd-1\right)}&48 \\
\end{array}
\]
解法
問題図において、第1フレネルゾーンは、\(\overline{TP}+\overline{PR}\,\)の距離と\(\,D\,\)との通路差が半波長\(\,(\lambda/2)\,\)となるときなので
\[ \overline{TP}+\overline{PR}-D=\sqrt{d^2+r^2}+\sqrt{(D-d)^2+r^2}-D=\cfrac{\lambda}2 \]ここで、\(d\gg r\,\)、\(D\gg r\,\)とすれば、二項定理より次式となる。
\[ \begin{eqnarray} \sqrt{d^2+r^2}&=&\sqrt{d^2\left(1+\frac{r^2}{d^2}\right)} \\ &=&\left\{d^2\left(1+\frac{r^2}{d^2}\right)\right\}^{\frac 12} \\ &=&d\left(1+\frac{r^2}{d^2}\right)^{\frac 12} \\ &\fallingdotseq&d\left(1+\frac 12\times\frac{r^2}{d^2}\right) \\ &=&d+\frac{r^2}{2d} \end{eqnarray} \] \[ \begin{eqnarray} \sqrt{(D-d)^2+r^2}&=&\sqrt{(D-d)^2\left(1+\frac{r^2}{(D-d)^2}\right)} \\ &=&\left\{(D-d)^2\left(1+\frac{r^2}{(D-d)^2}\right)\right\}^{\frac 12} \\ &=&(D-d)\left\{1+\frac{r^2}{(D-d)^2}\right\}^{\frac 12} \\ &\fallingdotseq&(D-d)\left\{1+\frac 12\times\frac{r^2}{(D-d)^2}\right\} \\ &=&(D-d)+\frac{r^2}{2(D-d)} \end{eqnarray} \] \[ \begin{eqnarray} \sqrt{d^2+r^2}+\sqrt{(D-d)^2+r^2}-D&=&d+\frac{r^2}{2d}+(D-d)+\frac{r^2}{2(D-d)}-D&=&\cfrac{\lambda}2 \\ &=&\frac{r^2}{2d}+\frac{r^2}{2(D-d)}&=&\cfrac{\lambda}2 \\ &=&\frac{r^2}2\left\{\frac 1d+\frac 1{D-d}\right\}&=&\cfrac{\lambda}2 \\ &=&\frac{r^2}2\left\{\frac {D-d}{d(D-d)}+\frac d{d(D-d)}\right\}&=&\cfrac{\lambda}2 \\ &=&\frac{r^2}2\left\{\frac D{d(D-d)}\right\}&=&\cfrac{\lambda}2 \end{eqnarray} \] \[ \begin{eqnarray} \frac{r^2}2&=&\cfrac{\lambda}2\left\{\frac {d(D-d)}D\right\} \\ r^2&=&\lambda\frac {d(D-d)}D \\ &=&\lambda d\frac {D-d}D \\ &=&\lambda d\left(1-\frac dD\right) \\ r&=&\sqrt{\lambda d\left(1-\frac dD\right)}\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \\ \end{eqnarray} \]周波数\(\,15\,[\mathrm{GHz}]\,\)、\(D=15\,[\mathrm{km}]\,\)、\(d=12\,[\mathrm{km}]\,\)を代入すると
\[ \begin{eqnarray} r&=&\sqrt{\frac{300}{15\times10^3}\times12\times 10^3\times\left(1-\frac {12\times10^3}{30\times10^3}\right)} \\ &=&\sqrt{20\times12\times\left(1-\frac25\right)} \\ &=&\sqrt{20\times12\times\frac35} \\ &=&\sqrt{4\times12\times3} \\ &=&\sqrt{12^2} \\ &=&12\,[\mathrm{m}]\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \\ \end{eqnarray} \]答え…2
R2.1 A-15
次の記述は、フレネルゾーンについて述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。
- 図において、距離\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)離れた送信点\(\,T\,\)と受信点\(\,R\,\)を結ぶ線分\(\,TR\,\)上の点\(\,O\,\)を含み、線分\(\,TR\,\)に垂直な平面\(\,S\,\)がある。\(S\,\)上の点\(\,P\,\)を通る電波の通路長\(\,TP+PR\,\)と\(\,\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)との通路差が\(\,\lambda/2\,\)の整数倍となる点\(\,P\,\)の軌跡は、\(S\,\)面上で複数の同心円となる。また、\(S\,\)が直線\(\,TR\,\)上を移動したとき、\(T\,\)、\(R\,\)を焦点とし、線分\(\,TR\,\)を回転軸とする回転楕円体となる。ただし、\(TO\,\)、\(OR\,\)の距離をそれぞれ\(\,d_1\,[\mathrm{m}]\,\)、\(\,d_2\,[\mathrm{m}]\,\)、また、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とする。
- 回転楕円体に囲まれた領域をフレネルゾーンと言い、最も内側の領域を第\(\,1\,\)フレネルゾーン、以下、第\(\,2\,\)、第\(\,3\,\)、第\(\,n\,\)フレネルゾーンという。第\(\,n\,\)フレネルゾーンの円の半径は、約\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)となる。
- 見通し内で無線回線を設定する場合には自由空間に近い良好な伝搬路を保つ必要があり、一般には、少なくとも障害物が第1フレネルゾーンに入らないようにクリアランスを設ける必要がある。
\[
\begin{array}{r c c}
&\text{A}&\text{B} \\
1&d_1+d_2&\sqrt{\cfrac{d_1d_2}{n\lambda d}} \\
2&d_1+d_2&\sqrt{n\lambda\cfrac{d_1d_2}d} \\
3&d-d_1&\sqrt{\cfrac{2\lambda d_1d_2}{nd}} \\
4&d-d_2&\sqrt{n\lambda\cfrac{d_1d_2}d} \\
5&d-d_2&\sqrt{\cfrac{2\lambda d_1d_2}{nd}}
\end{array}
\]
解法
問題文を根気よく読みましょう。\(\,\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)の選択肢をよく見ると、\(d_1+d_2=d\,\)、\(d-d_1=d_2\,\)、\(d-d_2=d_1\,\)なので、迷わず\(\,d\,\)になるものを選びましょう。
\(\boxed{\quad\text{B}\quad}\,\)については、同心円の内側から第\(\,1\,\)、第\(\,2\,\)、第\(\,n\,\)と数えていくときの\(\,n\,\)の半径を問われているので、分数の分母側に入ることはないと考えれば、回答は定まるはず。
答え…2
H30.7 A-17
次の記述は、図に示す第1フレネルゾーンについて述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。
- 送信点\(\,T\,\)から受信点\(\,R\,\)方向に測った距離\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)の地点における第1フレネルゾーンの回転楕円体の断面の半径\(\,r\,[\mathrm{m}]\,\)は、送受信点間の距離を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、次式で与えられる。 \[ r=\boxed{\quad\text{A}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
- 周波数が\(\,7.5\,[\mathrm{GHz}]\,\)、\(D\,\)が\(\,15\,[\mathrm{km}]\,\)であるとき、\(d\,\)が\(\,6\,[\mathrm{km}]\,\)の地点での\(\,r\,\)は、約\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)である。
\[
\begin{array}{r c c}
&\text{A}&\text{B} \\
1&\sqrt{\lambda d\left(\cfrac Dd-1\right)}&30 \\
2&\sqrt{\lambda d\left(\cfrac Dd-1\right)}&25 \\
3&\sqrt{\lambda d\left(1-\cfrac dD\right)}&30 \\
4&\sqrt{\lambda d\left(1-\cfrac dD\right)}&20 \\
5&\sqrt{\lambda d\left(1-\cfrac dD\right)}&12
\end{array}
\]
解法
問題図において、第1フレネルゾーンは、\(\overline{TP}+\overline{PR}\,\)の距離と\(\,D\,\)との通路差が半波長\(\,(\lambda/2)\,\)となるときなので
\[ \overline{TP}+\overline{PR}-D=\sqrt{d^2+r^2}+\sqrt{(D-d)^2+r^2}-D=\cfrac{\lambda}2 \]ここで、\(d\gg r\,\)、\(D\gg r\,\)とすれば、二項定理より次式となる。
\[ \begin{eqnarray} \sqrt{d^2+r^2}&=&\sqrt{d^2\left(1+\frac{r^2}{d^2}\right)} \\ &=&\left\{d^2\left(1+\frac{r^2}{d^2}\right)\right\}^{\frac 12} \\ &=&d\left(1+\frac{r^2}{d^2}\right)^{\frac 12} \\ &\fallingdotseq&d\left(1+\frac 12\times\frac{r^2}{d^2}\right) \\ &=&d+\frac{r^2}{2d} \end{eqnarray} \] \[ \begin{eqnarray} \sqrt{(D-d)^2+r^2}&=&\sqrt{(D-d)^2\left(1+\frac{r^2}{(D-d)^2}\right)} \\ &=&\left\{(D-d)^2\left(1+\frac{r^2}{(D-d)^2}\right)\right\}^{\frac 12} \\ &=&(D-d)\left\{1+\frac{r^2}{(D-d)^2}\right\}^{\frac 12} \\ &\fallingdotseq&(D-d)\left\{1+\frac 12\times\frac{r^2}{(D-d)^2}\right\} \\ &=&(D-d)+\frac{r^2}{2(D-d)} \end{eqnarray} \] \[ \begin{eqnarray} \sqrt{d^2+r^2}+\sqrt{(D-d)^2+r^2}-D&=&d+\frac{r^2}{2d}+(D-d)+\frac{r^2}{2(D-d)}-D&=&\cfrac{\lambda}2 \\ &=&\frac{r^2}{2d}+\frac{r^2}{2(D-d)}&=&\cfrac{\lambda}2 \\ &=&\frac{r^2}2\left\{\frac 1d+\frac 1{D-d}\right\}&=&\cfrac{\lambda}2 \\ &=&\frac{r^2}2\left\{\frac {D-d}{d(D-d)}+\frac d{d(D-d)}\right\}&=&\cfrac{\lambda}2 \\ &=&\frac{r^2}2\left\{\frac D{d(D-d)}\right\}&=&\cfrac{\lambda}2 \end{eqnarray} \] \[ \begin{eqnarray} \frac{r^2}2&=&\cfrac{\lambda}2\left\{\frac {d(D-d)}D\right\} \\ r^2&=&\lambda\frac {d(D-d)}D \\ &=&\lambda d\frac {D-d}D \\ &=&\lambda d\left(1-\frac dD\right) \\ r&=&\sqrt{\lambda d\left(1-\frac dD\right)}\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \\ \end{eqnarray} \]周波数\(\,7.5\,[\mathrm{GHz}]\,\)、\(D=15\,[\mathrm{km}]\,\)、\(d=6\,[\mathrm{km}]\,\)を代入すると
\[ \begin{eqnarray} r&=&\sqrt{\frac{300}{7.5\times10^3}\times6\times 10^3\times\left(1-\frac {6\times10^3}{15\times10^3}\right)} \\ &=&\sqrt{\frac{300}{7.5}\times6\times\left(1-\frac 6{15}\right)} \\ &=&\sqrt{40\times6\times\frac 9{15}} \\ &=&\sqrt{40\times6\times\frac 35} \\ &=&\sqrt{2^2\times10\times6\times\frac 6{10}} \\ &=&\sqrt{2^2\times6^2} \\ &=&2\times6 \\ &=&12\,[\mathrm{m}]\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \\ \end{eqnarray} \]答え…5
H29.1 A-15
次の記述は、図に示す第1フレネルゾーンについて述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。
- 送信点\(\,T\,\)から受信点\(\,R\,\)方向に測った距離\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)の地点における第1フレネルゾーンの回転楕円体の断面の半径\(\,r\,[\mathrm{m}]\,\)は、送受信点間の距離を\(\,D\,[\mathrm{m}]\,\)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすれば、次式で与えられる。 \[ r=\boxed{\quad\text{A}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
- 周波数が\(\,6\,[\mathrm{GHz}]\,\)、\(D\,\)が\(\,50\,[\mathrm{km}]\,\)であるとき、\(d\,\)が\(\,25\,[\mathrm{km}]\,\)の地点での\(\,r\,\)は、約\(\,\boxed{\quad\text{B}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)である。
\[
\begin{array}{r c c}
&\text{A}&\text{B} \\
1&\sqrt{\lambda d\left(1-\cfrac dD\right)}&15 \\
2&\sqrt{\lambda d\left(1-\cfrac dD\right)}&30 \\
3&\sqrt{\lambda d\left(1-\cfrac dD\right)}&25 \\
4&\sqrt{\lambda d\left(\cfrac Dd-1\right)}&30 \\
5&\sqrt{\lambda d\left(\cfrac Dd-1\right)}&25
\end{array}
\]
解法
問題図において、第1フレネルゾーンは、\(\overline{TP}+\overline{PR}\,\)の距離と\(\,D\,\)との通路差が半波長\(\,(\lambda/2)\,\)となるときなので
\[ \overline{TP}+\overline{PR}-D=\sqrt{d^2+r^2}+\sqrt{(D-d)^2+r^2}-D=\cfrac{\lambda}2 \]ここで、\(d\gg r\,\)、\(D\gg r\,\)とすれば、二項定理より次式となる。
\[ \begin{eqnarray} \sqrt{d^2+r^2}&=&\sqrt{d^2\left(1+\frac{r^2}{d^2}\right)} \\ &=&\left\{d^2\left(1+\frac{r^2}{d^2}\right)\right\}^{\frac 12} \\ &=&d\left(1+\frac{r^2}{d^2}\right)^{\frac 12} \\ &\fallingdotseq&d\left(1+\frac 12\times\frac{r^2}{d^2}\right) \\ &=&d+\frac{r^2}{2d} \end{eqnarray} \] \[ \begin{eqnarray} \sqrt{(D-d)^2+r^2}&=&\sqrt{(D-d)^2\left(1+\frac{r^2}{(D-d)^2}\right)} \\ &=&\left\{(D-d)^2\left(1+\frac{r^2}{(D-d)^2}\right)\right\}^{\frac 12} \\ &=&(D-d)\left\{1+\frac{r^2}{(D-d)^2}\right\}^{\frac 12} \\ &\fallingdotseq&(D-d)\left\{1+\frac 12\times\frac{r^2}{(D-d)^2}\right\} \\ &=&(D-d)+\frac{r^2}{2(D-d)} \end{eqnarray} \] \[ \begin{eqnarray} \sqrt{d^2+r^2}+\sqrt{(D-d)^2+r^2}-D&=&d+\frac{r^2}{2d}+(D-d)+\frac{r^2}{2(D-d)}-D&=&\cfrac{\lambda}2 \\ &=&\frac{r^2}{2d}+\frac{r^2}{2(D-d)}&=&\cfrac{\lambda}2 \\ &=&\frac{r^2}2\left\{\frac 1d+\frac 1{D-d}\right\}&=&\cfrac{\lambda}2 \\ &=&\frac{r^2}2\left\{\frac {D-d}{d(D-d)}+\frac d{d(D-d)}\right\}&=&\cfrac{\lambda}2 \\ &=&\frac{r^2}2\left\{\frac D{d(D-d)}\right\}&=&\cfrac{\lambda}2 \end{eqnarray} \] \[ \begin{eqnarray} \frac{r^2}2&=&\cfrac{\lambda}2\left\{\frac {d(D-d)}D\right\} \\ r^2&=&\lambda\frac {d(D-d)}D \\ &=&\lambda d\frac {D-d}D \\ &=&\lambda d\left(1-\frac dD\right) \\ r&=&\sqrt{\lambda d\left(1-\frac dD\right)}\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \\ \end{eqnarray} \]周波数\(\,6\,[\mathrm{GHz}]\,\)、\(D=50\,[\mathrm{km}]\,\)、\(d=25\,[\mathrm{km}]\,\)を代入すると
\[ \begin{eqnarray} r&=&\sqrt{\frac{300}{6\times10^3}\times25\times 10^3\times\left(1-\frac {25\times10^3}{50\times10^3}\right)} \\ &=&\sqrt{\frac{300}{6}\times25\times\left(1-\frac 12\right)} \\ &=&\sqrt{50\times25\times\frac 12} \\ &=&\sqrt{25\times25} \\ &=&\sqrt{25^2} \\ &=&25\,[\mathrm{m}]\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \\ \end{eqnarray} \]