R6.1 A-2
図に示す半波長ダイポールアンテナの入力インピーダンスを純抵抗にするよう素子の長さ\(\,l\,\)を調整したところ、素子の短縮率が\(\,0.0327\,\)であった。このとき、使用した電波の周波数の値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、アンテナ素子の直径は、\(10\,[\mathrm{mm}]\,\)とし、碍子等による浮遊容量は無視するものとする。
解法
アンテナ素子の特性インピーダンスを\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)とすると、短縮率\(\,\Delta\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} \Delta&=&\cfrac{42.55}{\pi Z_0} \\ \pi Z_0\Delta&=&42.55 \\ Z_0&=&\cfrac{42.55}{\pi\Delta} \\ &=&\cfrac{42.55}{\pi\times0.0327} \\ &\fallingdotseq&414.2 \end{eqnarray} \]また、短縮率を考慮しない素子の長さを\(\,l_e\,[\mathrm{m}]\,\)、素子の太さを\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とすると
\[ Z_0=138\log_{10}\cfrac{2l_e}d \]題意は半波長ダイポールアンテナなので、アンテナの長さは半波長\(\,\lambda/2\,[\mathrm{m}]\,\)であり、図中の\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)はさらにその半分を表している。よって、短縮率を考慮しない素子の長さ\(\,l_e\,[\mathrm{m}]\,\)は次式で表される。
\[ l_e=\cfrac{\lambda}4\,[\mathrm{m}] \]これより
\[ \begin{eqnarray} Z_0&=&138\log_{10}\cfrac{2\frac{\lambda}4}d \\ \cfrac{Z_0}{138}&=&\log_{10}\cfrac{\frac{\lambda}2}d \\ &=&\log_{10}\cfrac{\lambda}2-\log_{10}d \\ &=&\log_{10}{\lambda}-\log_{10}2-\log_{10}d \\ \log_{10}{\lambda}&=&\log_{10}2+\log_{10}d+\cfrac{Z_0}{138} \\ &\fallingdotseq&\log_{10}2+\log_{10}{(10\times10^{-3})}+\cfrac{414.2}{138} \\ &=&\log_{10}2+\log_{10}{10^{-2}}+3 \\ &=&\log_{10}2-2+3 \\ &=&\log_{10}2+1 \\ &=&\log_{10}2+\log_{10}{10} \\ &=&\log_{10}{(2\times10)} \\ \lambda&=&20\,[\mathrm{m}] \\ \end{eqnarray} \]\(f\,[\mathrm{Hz}]=300\times10^6\,[\mathrm{Hz・m}]/\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)なので
\[ \begin{eqnarray} f&=&\cfrac{300\times10^6}{20} \\ &=&15\times10^6\,[\mathrm{Hz}] \\ &=&15\,[\mathrm{MHz}] \end{eqnarray} \]答え…1
R5.7(1) A-3
図に示す半波長ダイポールアンテナを周波数\(\,15\,[\mathrm{MHz}]\,\)で使用するとき、アンテナの入力インピーダンスを純抵抗とするためのアンテナ素子の長さ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)の値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、アンテナ素子の直径を\(\,5\,[\mathrm{mm}]\,\)とし、碍子等による浮遊容量は無視するものとし、\(\log_{10}2\fallingdotseq0.3\,\)とする。
解法
題意は半波長ダイポールアンテナなので、アンテナの長さは半波長\(\,\lambda/2\,[\mathrm{m}]\,\)であり、図中の\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)はさらにその半分を表している。よって、短縮率を考慮しない素子の長さ\(\,l_e\,[\mathrm{m}]\,\)は次式で表される。
\[ l_e=\cfrac{\lambda}4\,[\mathrm{m}] \]アンテナ素子の太さを\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、アンテナ素子の特性インピーダンス\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} Z_0&=&138\log_{10}\cfrac{2l_e}d \\ &=&138\log_{10}\cfrac{2\frac{\lambda}4}d \end{eqnarray} \]短縮率\(\,\Delta\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} \Delta&=&\cfrac{42.55}{\pi Z_0} \\ &=&\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{2\frac{\lambda}4}d} \end{eqnarray} \]短縮率を考慮したアンテナ素子の長さ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} l&=&\cfrac{\lambda}4(1-\Delta) \\ &=&\cfrac{\lambda}4\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{2\frac{\lambda}4}d}\right) \end{eqnarray} \]代入して
\[ \begin{eqnarray} l&=&\cfrac{\frac{300}{15}}4\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{2\frac{\frac{300}{15}}4}{5\times10^{-3}}}\right) \\ &=&\cfrac{20}4\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{\frac{20}2}{5\times10^{-3}}}\right) \\ &=&5\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{10}{5\times10^{-3}}}\right) \\ &=&5\left\{1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}(2\times10^3)}\right\} \\ &=&5\left\{1-\cfrac{42.55}{\pi\times138(\log_{10}2+\log_{10}10^3)}\right\} \\ &=&5\left\{1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\times3.3}\right\} \\ &\fallingdotseq&5\left(1-\cfrac{42.55}{455.4}\times0.318\right) \\ &=&5(1-0.0934\times0.318) \\ &=&5(1-0.0297) \\ &=&5\times0.970 \\ &=&4.85\,[\mathrm{m}] \end{eqnarray} \]解くときは有効桁を強く意識しましょう。
答え…4
R4.1(2) A-5
図に示す半波長ダイポールアンテナを周波数\(\,30\,[\mathrm{MHz}]\,\)で使用するとき、アンテナの入力インピーダンスを純抵抗とするためのアンテナ素子の長さ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)の値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、アンテナ素子の直径を\(\,5\,[\mathrm{mm}]\,\)とし、碍子等による浮遊容量は無視するものとする。
解法
題意は半波長ダイポールアンテナなので、アンテナの長さは半波長\(\,\lambda/2\,[\mathrm{m}]\,\)であり、図中の\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)はさらにその半分を表している。よって、短縮率を考慮しない素子の長さ\(\,l_e\,[\mathrm{m}]\,\)は次式で表される。
\[ l_e=\cfrac{\lambda}4\,[\mathrm{m}] \]アンテナ素子の太さを\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、アンテナ素子の特性インピーダンス\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} Z_0&=&138\log_{10}\cfrac{2l_e}d \\ &=&138\log_{10}\cfrac{2\frac{\lambda}4}d \end{eqnarray} \]短縮率\(\,\Delta\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} \Delta&=&\cfrac{42.55}{\pi Z_0} \\ &=&\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{2\frac{\lambda}4}d} \end{eqnarray} \]短縮率を考慮したアンテナ素子の長さ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} l&=&\cfrac{\lambda}4(1-\Delta) \\ &=&\cfrac{\lambda}4\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{2\frac{\lambda}4}d}\right) \end{eqnarray} \]代入して
\[ \begin{eqnarray} l&=&\cfrac{\frac{300}{30}}4\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{2\frac{\frac{300}{30}}4}{5\times10^{-3}}}\right) \\ &=&\cfrac{10}4\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{\frac{10}2}{5\times10^{-3}}}\right) \\ &=&\cfrac52\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac5{5\times10^{-3}}}\right) \\ &=&\cfrac52\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}10^3}\right) \\ &=&\cfrac52\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\times3}\right) \\ &\fallingdotseq&\cfrac52\left(1-\cfrac{42.55}{414}\times0.318\right) \\ &=&\cfrac52(1-0.103\times0.318) \\ &=&\cfrac52(1-0.0328) \\ &=&2.5\times0.967 \\ &=&2.42\,[\mathrm{m}] \end{eqnarray} \]計算順序によって、\(\pm2\,[\mathrm{cm}]\,\)の誤差が出ます。選択肢は最小で\(\pm9\,[\mathrm{cm}]\,\)の差なので、丁寧に計算しないとなりません。この辺、設問としてどうなんでしょうか。解くときは有効桁を強く意識しましょう。
答え…1
R3.1(1) A-3
図に示す半波長ダイポールアンテナを周波数\(\,20\,[\mathrm{MHz}]\,\)で使用するとき、アンテナの入力インピーダンスを純抵抗とするためのアンテナ素子の長さ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)の値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、アンテナ素子の直径を\(\,7.5\,[\mathrm{mm}]\,\)とし、碍子等による浮遊容量は無視するものとする。
解法
題意は半波長ダイポールアンテナなので、アンテナの長さは半波長\(\,\lambda/2\,[\mathrm{m}]\,\)であり、図中の\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)はさらにその半分を表している。よって、短縮率を考慮しない素子の長さ\(\,l_e\,[\mathrm{m}]\,\)は次式で表される。
\[ l_e=\cfrac{\lambda}4\,[\mathrm{m}] \]アンテナ素子の太さを\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、アンテナ素子の特性インピーダンス\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} Z_0&=&138\log_{10}\cfrac{2l_e}d \\ &=&138\log_{10}\cfrac{2\frac{\lambda}4}d \end{eqnarray} \]短縮率\(\,\Delta\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} \Delta&=&\cfrac{42.55}{\pi Z_0} \\ &=&\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{2\frac{\lambda}4}d} \end{eqnarray} \]短縮率を考慮したアンテナ素子の長さ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} l&=&\cfrac{\lambda}4(1-\Delta) \\ &=&\cfrac{\lambda}4\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{2\frac{\lambda}4}d}\right) \end{eqnarray} \]代入して
\[ \begin{eqnarray} l&=&\cfrac{\frac{300}{20}}4\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{2\frac{\frac{300}{20}}4}{7.5\times10^{-3}}}\right) \\ &=&\cfrac{15}4\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{\frac{15}2}{7.5\times10^{-3}}}\right) \\ &=&\cfrac{15}4\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{7.5}{7.5\times10^{-3}}}\right) \\ &=&\cfrac{15}4\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}10^3}\right) \\ &=&\cfrac{15}4\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\times3}\right) \\ &\fallingdotseq&\cfrac{15}4\left(1-\cfrac{42.55}{414}\times0.318\right) \\ &=&\cfrac{15}4(1-0.103\times0.318) \\ &=&\cfrac{15}4(1-0.0328) \\ &=&3.75\times0.967 \\ &=&3.63\,[\mathrm{m}] \end{eqnarray} \]計算順序によって、\(\pm2\,[\mathrm{cm}]\,\)の誤差が出ます。選択肢は最小で\(\pm9\,[\mathrm{cm}]\,\)の差なので、丁寧に計算しないとなりません。この辺、設問としてどうなんでしょうか。解くときは有効桁を強く意識しましょう。
答え…3
H31.1 A-5
図に示す半波長ダイポールアンテナを周波数\(\,30\,[\mathrm{MHz}]\,\)で使用するとき、アンテナの入力インピーダンスを純抵抗とするためのアンテナ素子の長さ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)の値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、アンテナ素子の直径を\(\,5\,[\mathrm{mm}]\,\)とし、碍子等による浮遊容量は無視するものとする。
解法
題意は半波長ダイポールアンテナなので、アンテナの長さは半波長\(\,\lambda/2\,[\mathrm{m}]\,\)であり、図中の\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)はさらにその半分を表している。よって、短縮率を考慮しない素子の長さ\(\,l_e\,[\mathrm{m}]\,\)は次式で表される。
\[ l_e=\cfrac{\lambda}4\,[\mathrm{m}] \]アンテナ素子の太さを\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、アンテナ素子の特性インピーダンス\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} Z_0&=&138\log_{10}\cfrac{2l_e}d \\ &=&138\log_{10}\cfrac{2\frac{\lambda}4}d \end{eqnarray} \]短縮率\(\,\Delta\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} \Delta&=&\cfrac{42.55}{\pi Z_0} \\ &=&\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{2\frac{\lambda}4}d} \end{eqnarray} \]短縮率を考慮したアンテナ素子の長さ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} l&=&\cfrac{\lambda}4(1-\Delta) \\ &=&\cfrac{\lambda}4\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{2\frac{\lambda}4}d}\right) \end{eqnarray} \]代入して
\[ \begin{eqnarray} l&=&\cfrac{\frac{300}{30}}4\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{2\frac{\frac{300}{30}}4}{5\times10^{-3}}}\right) \\ &=&\cfrac{10}4\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{\frac{10}2}{5\times10^{-3}}}\right) \\ &=&\cfrac52\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{5}{5\times10^{-3}}}\right) \\ &=&\cfrac52\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}10^3}\right) \\ &=&\cfrac52\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\times3}\right) \\ &\fallingdotseq&\cfrac52\left(1-\cfrac{42.55}{414}\times0.318\right) \\ &=&\cfrac52(1-0.103\times0.318) \\ &=&\cfrac52(1-0.0328) \\ &=&2.5\times0.967 \\ &=&2.42\,[\mathrm{m}] \end{eqnarray} \]計算順序によって、\(\pm2\,[\mathrm{cm}]\,\)の誤差が出ます。選択肢は最小で\(\pm9\,[\mathrm{cm}]\,\)の差なので、丁寧に計算しないとなりません。この辺、設問としてどうなんでしょうか。解くときは有効桁を強く意識しましょう。
答え…4
H29.1 A-2
図に示す半波長ダイポールアンテナを周波数\(\,15\,[\mathrm{MHz}]\,\)で使用するとき、アンテナの入力インピーダンスを純抵抗とするためのアンテナ素子の長さ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)の値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、アンテナ素子の直径を\(\,10\,[\mathrm{mm}]\,\)とし、碍子等による浮遊容量は無視するものとする。
解法
題意は半波長ダイポールアンテナなので、アンテナの長さは半波長\(\,\lambda/2\,[\mathrm{m}]\,\)であり、図中の\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)はさらにその半分を表している。よって、短縮率を考慮しない素子の長さ\(\,l_e\,[\mathrm{m}]\,\)は次式で表される。
\[ l_e=\cfrac{\lambda}4\,[\mathrm{m}] \]アンテナ素子の太さを\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、アンテナ素子の特性インピーダンス\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} Z_0&=&138\log_{10}\cfrac{2l_e}d \\ &=&138\log_{10}\cfrac{2\frac{\lambda}4}d \end{eqnarray} \]短縮率\(\,\Delta\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} \Delta&=&\cfrac{42.55}{\pi Z_0} \\ &=&\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{2\frac{\lambda}4}d} \end{eqnarray} \]短縮率を考慮したアンテナ素子の長さ\(\,l\,[\mathrm{m}]\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} l&=&\cfrac{\lambda}4(1-\Delta) \\ &=&\cfrac{\lambda}4\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{2\frac{\lambda}4}d}\right) \end{eqnarray} \]代入して
\[ \begin{eqnarray} l&=&\cfrac{\frac{300}{15}}4\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{2\frac{\frac{300}{15}}4}{10\times10^{-3}}}\right) \\ &=&\cfrac{20}4\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{\frac{20}2}{10\times10^{-3}}}\right) \\ &=&5\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}\cfrac{10}{10^{-2}}}\right) \\ &=&5\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\log_{10}10^3}\right) \\ &=&5\left(1-\cfrac{42.55}{\pi\times138\times3}\right) \\ &\fallingdotseq&5\left(1-\cfrac{42.55}{414}\times0.318\right) \\ &=&5(1-0.103\times0.318) \\ &=&5(1-0.0328) \\ &=&5\times0.967 \\ &=&4.84\,[\mathrm{m}] \end{eqnarray} \]計算順序によって、\(\pm2\,[\mathrm{cm}]\,\)の誤差が出ます。選択肢は最小で\(\pm9\,[\mathrm{cm}]\,\)の差なので、丁寧に計算しないとなりません。この辺、設問としてどうなんでしょうか。解くときは有効桁を強く意識しましょう。