R6.1 A-20
次の記述は、ハイトパターンの測定について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とし、大地は完全導体平面で反射係数を\(\,-1\,\)とする。
- 超短波(VHF)の電波伝搬において、送信アンテナの地上高、送信周波数、送信電力及び送受信点間距離を一定にして、受信アンテナの高さを上下に移動させて電界強度を測定すると、直接波と大地反射波との干渉により、図に示すようなハイトパターンが得られる。電界強度は、図のように周期的に大小を繰り返し、その周期は、周波数が\(\,\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)ほど長くなる。
- 直接波と大地反射波との通路差\(\,\Delta l\,\)は、送信及び受信アンテナの高さをそれぞれ\(\,h_1\,[\mathrm{m}]\,\)、\(\,h_2\,[\mathrm{m}]\,\)、送受信点間の距離を\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とし、\(\,d\gg(h_1+h_2)\,\)とすると、次式で表される。 \[ \Delta l\fallingdotseq\boxed{\quad\text{B}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
- ハイトパターンの受信電界強度が極大になる受信アンテナの高さ\(\,h_{m2}\,\)と\(\,h_{m1}\,\)との差\(\,\Delta h\,\)は、\(\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)である。
解法
送信アンテナ、受信アンテナ、送信アンテナからの水平線と受信アンテナからの垂直線との交点の3点による直角三角形を考えた場合に、斜辺が直接波の伝搬距離に相当する。直接波の伝搬距離を\(\,l_1\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、三平方の定理より次式のように求められる。
\[ \begin{eqnarray} {l_1}^2&=&d^2+(h_1-h_2)^2 \\ l_1&=&\sqrt{d^2+(h_1-h_2)^2} \\ &=&\sqrt{d^2\left\{1+\cfrac{(h_1-h_2)^2}{d^2}\right\}} \\ &=&d\sqrt{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2} \\ &=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \end{eqnarray} \]ここで、\(\,d\gg(h_1+h_2)\,\)なので
\[ \begin{eqnarray} l_1&=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \\ &\fallingdotseq&d\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\} \\ &=&d+\cfrac12\cfrac{(h_1-h_2)^2}d \\ &=&d+\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \\ \end{eqnarray} \]一方、大地反射波については、大地に反射し受信アンテナに到達した場合の伝搬距離と、受信アンテナが地下に逆さに設置されていると仮定し、大地に反射せずに地表を突き抜け架空の地下の受信アンテナに到達した場合の伝搬距離とは等しくなる。よって、送信アンテナ、架空の地下受信アンテナ、送信アンテナからの水平線と受信アンテナからの垂直線との交点の3点による直角三角形を考えた場合、大地反射波の伝搬距離を\(\,l_2\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、
\[ \begin{eqnarray} {l_2}^2&=&d^2+(h_1+h_2)^2 \\ l_2&=&\sqrt{d^2+(h_1+h_2)^2} \\ &=&\sqrt{d^2\left\{1+\cfrac{(h_1+h_2)^2}{d^2}\right\}} \\ &=&d\sqrt{1+\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2} \\ &=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \\ &\fallingdotseq&d\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2\right\} \\ &=&d+\cfrac12\cfrac{(h_1+h_2)^2}d \\ &=&d+\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \end{eqnarray} \]これより、直接波と大地反射波との通路差\(\,\Delta l\,\)は
\[ \begin{eqnarray} \Delta l&=&l_2-l_1 \\ &=&\left(d+\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}\right)-\left(d+\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}\right) \\ &=&\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}-\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \\ &=&\cfrac{({h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2)-({h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2)}{2d} \\ &=&\cfrac{4h_1h_2}{2d} \\ &=&\cfrac{2h_1h_2}d\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \end{eqnarray} \]受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)は、自由空間電界強度を\(\,E_0\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすると、
\[ |E|\fallingdotseq2E_0\times\left|\sin\cfrac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\right| \]受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)が極大になるのは\(\,\sin\frac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\,\)が最大になるときであり、つまり\(\,\frac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\,\)が\(\,\pi(1/2+n),(nは整数)\,\)になる場合である。題意では、送信アンテナの地上高、送信周波数、送信電力及び送受信点間距離を一定にしておいて、受信アンテナの地上高\(\,h_2\,\)を変化させたときに、受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)が最初に極大になる高さ\(\,h_{m1}\,[\mathrm{m}]\,\)と、次に極大になる高さ\(\,h_{m2}\,[\mathrm{m}]\,\)との差を\(\,\Delta h\,[\mathrm{m}]\,\)として求めるとしている。すなわち
\[ \begin{eqnarray} \cfrac{2\pi h_1h_{m1}}{\lambda d}&=&\pi(\cfrac12+n) \\ \cfrac{2\pi h_1h_{m2}}{\lambda d}&=&\pi(\cfrac12+n+1) \end{eqnarray} \]これを整理すると
\[ \cfrac{2\pi h_1h_{m2}}{\lambda d}-\cfrac{2\pi h_1h_{m1}}{\lambda d}=\pi \]また
\[ \Delta h=h_{m2}-h_{m1} \]である。これより
\[ \begin{eqnarray} \cfrac{2\pi h_1}{\lambda d}(h_{m2}-h_{m1})&=&\pi \\ h_{m2}-h_{m1}&=&\pi\times\cfrac{\lambda d}{2\pi h_1} \\ &=&\cfrac{\lambda d}{2h_1} \\ \therefore\Delta h&=&\cfrac{\lambda d}{2h_1}\cdots\boxed{\quad\text{C}\quad} \end{eqnarray} \]答え…1
R5.1(1) A-19
次の記述は、ハイトパターンの測定について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とし、大地は完全導体平面で反射係数を\(\,-1\,\)とする。
- 超短波(VHF)の電波伝搬において、送信アンテナの地上高、送信周波数、送信電力及び送受信点間距離を一定にしておいて、受信アンテナの高さを上下に移動させて電界強度を測定すると、直接波と大地反射波との干渉により、図に示すようなハイトパターンが得られる。
- 直接波と大地反射波との通路差\(\,\Delta l\,\)は、送信及び受信アンテナの高さをそれぞれ\(\,h_1\,[\mathrm{m}]\,\)、\(\,h_2\,[\mathrm{m}]\,\)及び送受信点間の距離を\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とし、\(\,d\gg(h_1+h_2)\,\)とすると、次式で表される。 \[ \Delta l\fallingdotseq\boxed{\quad\text{A}\quad}\,[\mathrm{m}] \] 受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)は、自由空間電界強度を\(\,E_0\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすると、次式で表される。 \[ |E|\fallingdotseq2E_0\times|\boxed{\quad\text{B}\quad}|\,[\mathrm{V/m}] \]
- ハイトパターンの受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)が極大になる受信アンテナの高さ\(\,h_{m2}\,\)と\(\,h_{m1}\,\)との差\(\,\Delta h\,\)は、\(\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)である。
解法
送信アンテナ、受信アンテナ、送信アンテナの頂点からの水平線と受信アンテナからの垂直線との交点の3点による直角三角形を考えた場合に、斜辺が直接波の伝搬距離に相当する。直接波の伝搬距離を\(\,l_1\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、三平方の定理より次式のように求められる。
\[ \begin{eqnarray} {l_1}^2&=&d^2+(h_1-h_2)^2 \\ l_1&=&\sqrt{d^2+(h_1-h_2)^2} \\ &=&\sqrt{d^2\left\{1+\cfrac{(h_1-h_2)^2}{d^2}\right\}} \\ &=&d\sqrt{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2} \\ &=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \end{eqnarray} \]ここで、\(\,d\gg(h_1+h_2)\,\)なので
\[ \begin{eqnarray} l_1&=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \\ &\fallingdotseq&d\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\} \\ &=&d+\cfrac12\cfrac{(h_1-h_2)^2}d \\ &=&d+\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \\ \end{eqnarray} \]一方、大地反射波については、大地に反射し受信アンテナに到達した場合の伝搬距離と、受信アンテナが地下に逆さに設置されていると仮定し、大地に反射せずに地表を突き抜け架空の地下の受信アンテナに到達した場合の伝搬距離とは等しくなる。よって、送信アンテナ、架空の地下受信アンテナ、送信アンテナ頂点からの水平線と受信アンテナからの垂直線との交点の3点による直角三角形を考えた場合、大地反射波の伝搬距離を\(\,l_2\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、
\[ \begin{eqnarray} {l_2}^2&=&d^2+(h_1+h_2)^2 \\ l_2&=&\sqrt{d^2+(h_1+h_2)^2} \\ &=&\sqrt{d^2\left\{1+\cfrac{(h_1+h_2)^2}{d^2}\right\}} \\ &=&d\sqrt{1+\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2} \\ &=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \\ &\fallingdotseq&d\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2\right\} \\ &=&d+\cfrac12\cfrac{(h_1+h_2)^2}d \\ &=&d+\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \end{eqnarray} \]これより、直接波と大地反射波との通路差\(\,\Delta l\,\)は
\[ \begin{eqnarray} \Delta l&=&l_2-l_1 \\ &=&\left(d+\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}\right)-\left(d+\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}\right) \\ &=&\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}-\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \\ &=&\cfrac{({h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2)-({h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2)}{2d} \\ &=&\cfrac{4h_1h_2}{2d} \\ &=&\cfrac{2h_1h_2}d\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \end{eqnarray} \]受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)は、自由空間電界強度を\(\,E_0\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすると、
\[ |E|\fallingdotseq2E_0\times\left|\sin\cfrac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\right|\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \]受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)が極大になるのは\(\,\sin\frac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\,\)が最大になるときであり、つまり\(\,\frac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\,\)が\(\,\pi(1/2+n),(nは整数)\,\)になる場合である。題意では、送信アンテナの地上高、送信周波数、送信電力及び送受信点間距離を一定にしておいて、受信アンテナの地上高\(\,h_2\,\)を変化させたときに、受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)が最初に極大になる高さ\(\,h_{m1}\,[\mathrm{m}]\,\)と、次に極大になる高さ\(\,h_{m2}\,[\mathrm{m}]\,\)との差を\(\,\Delta h\,[\mathrm{m}]\,\)として求めるとしている。すなわち
\[ \begin{eqnarray} \cfrac{2\pi h_1h_{m1}}{\lambda d}&=&\pi(\cfrac12+n) \\ \cfrac{2\pi h_1h_{m2}}{\lambda d}&=&\pi(\cfrac12+n+1) \end{eqnarray} \]これを整理すると
\[ \cfrac{2\pi h_1h_{m2}}{\lambda d}-\cfrac{2\pi h_1h_{m1}}{\lambda d}=\pi \]また
\[ \Delta h=h_{m2}-h_{m1} \]である。これより
\[ \begin{eqnarray} \cfrac{2\pi h_1}{\lambda d}(h_{m2}-h_{m1})&=&\pi \\ h_{m2}-h_{m1}&=&\pi\times\cfrac{\lambda d}{2\pi h_1} \\ &=&\cfrac{\lambda d}{2h_1} \\ \therefore\Delta h&=&\cfrac{\lambda d}{2h_1}\cdots\boxed{\quad\text{C}\quad} \end{eqnarray} \]答え…4
R4.7(1) A-19
次の記述は、ハイトパターンの測定について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とし、大地は完全導体平面で反射係数を\(\,-1\,\)とする。
- 超短波(VHF)の電波伝搬において、送信アンテナの地上高、送信周波数、送信電力及び送受信点間距離を一定にして、受信アンテナの高さを上下に移動させて電界強度を測定すると、直接波と大地反射波との干渉により、図に示すようなハイトパターンが得られる。電界強度は、図のように周期的に大小を繰り返し、その周期は、周波数が低いほど\(\,\boxed{\quad\text{A}\quad}\,\)なる。
- 直接波と大地反射波との通路差\(\,\Delta l\,\)は、送信及び受信アンテナの高さをそれぞれ\(\,h_1\,[\mathrm{m}]\,\)、\(\,h_2\,[\mathrm{m}]\,\)、送受信点間の距離を\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とし、\(\,d\gg(h_1+h_2)\,\)とすると、次式で表される。 \[ \Delta l\fallingdotseq\boxed{\quad\text{B}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
- ハイトパターンの受信電界強度が極大になる受信アンテナの高さ\(\,h_{m2}\,\)と\(\,h_{m1}\,\)との差\(\,\Delta h\,\)は、\(\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)である。
解法
送信アンテナ、受信アンテナ、送信アンテナからの水平線と受信アンテナからの垂直線との交点の3点による直角三角形を考えた場合に、斜辺が直接波の伝搬距離に相当する。直接波の伝搬距離を\(\,l_1\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、三平方の定理より次式のように求められる。
\[ \begin{eqnarray} {l_1}^2&=&d^2+(h_1-h_2)^2 \\ l_1&=&\sqrt{d^2+(h_1-h_2)^2} \\ &=&\sqrt{d^2\left\{1+\cfrac{(h_1-h_2)^2}{d^2}\right\}} \\ &=&d\sqrt{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2} \\ &=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \end{eqnarray} \]ここで、\(\,d\gg(h_1+h_2)\,\)なので
\[ \begin{eqnarray} l_1&=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \\ &\fallingdotseq&d\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\} \\ &=&d+\cfrac12\cfrac{(h_1-h_2)^2}d \\ &=&d+\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \\ \end{eqnarray} \]一方、大地反射波については、大地に反射し受信アンテナに到達した場合の伝搬距離と、受信アンテナが地下に逆さに設置されていると仮定し、大地に反射せずに地表を突き抜け架空の地下の受信アンテナに到達した場合の伝搬距離とは等しくなる。よって、送信アンテナ、架空の地下受信アンテナ、送信アンテナからの水平線と受信アンテナからの垂直線との交点の3点による直角三角形を考えた場合、大地反射波の伝搬距離を\(\,l_2\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、
\[ \begin{eqnarray} {l_2}^2&=&d^2+(h_1+h_2)^2 \\ l_2&=&\sqrt{d^2+(h_1+h_2)^2} \\ &=&\sqrt{d^2\left\{1+\cfrac{(h_1+h_2)^2}{d^2}\right\}} \\ &=&d\sqrt{1+\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2} \\ &=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \\ &\fallingdotseq&d\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2\right\} \\ &=&d+\cfrac12\cfrac{(h_1+h_2)^2}d \\ &=&d+\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \end{eqnarray} \]これより、直接波と大地反射波との通路差\(\,\Delta l\,\)は
\[ \begin{eqnarray} \Delta l&=&l_2-l_1 \\ &=&\left(d+\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}\right)-\left(d+\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}\right) \\ &=&\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}-\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \\ &=&\cfrac{({h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2)-({h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2)}{2d} \\ &=&\cfrac{4h_1h_2}{2d} \\ &=&\cfrac{2h_1h_2}d\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \end{eqnarray} \]受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)は、自由空間電界強度を\(\,E_0\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすると、
\[ |E|\fallingdotseq2E_0\times\left|\sin\cfrac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\right| \]受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)が極大になるのは\(\,\sin\frac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\,\)が最大になるときであり、つまり\(\,\frac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\,\)が\(\,\pi(1/2+n),(nは整数)\,\)になる場合である。題意では、送信アンテナの地上高、送信周波数、送信電力及び送受信点間距離を一定にしておいて、受信アンテナの地上高\(\,h_2\,\)を変化させたときに、受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)が最初に極大になる高さ\(\,h_{m1}\,[\mathrm{m}]\,\)と、次に極大になる高さ\(\,h_{m2}\,[\mathrm{m}]\,\)との差を\(\,\Delta h\,[\mathrm{m}]\,\)として求めるとしている。すなわち
\[ \begin{eqnarray} \cfrac{2\pi h_1h_{m1}}{\lambda d}&=&\pi(\cfrac12+n) \\ \cfrac{2\pi h_1h_{m2}}{\lambda d}&=&\pi(\cfrac12+n+1) \end{eqnarray} \]これを整理すると
\[ \cfrac{2\pi h_1h_{m2}}{\lambda d}-\cfrac{2\pi h_1h_{m1}}{\lambda d}=\pi \]また
\[ \Delta h=h_{m2}-h_{m1} \]である。これより
\[ \begin{eqnarray} \cfrac{2\pi h_1}{\lambda d}(h_{m2}-h_{m1})&=&\pi \\ h_{m2}-h_{m1}&=&\pi\times\cfrac{\lambda d}{2\pi h_1} \\ &=&\cfrac{\lambda d}{2h_1} \\ \therefore\Delta h&=&\cfrac{\lambda d}{2h_1}\cdots\boxed{\quad\text{C}\quad} \end{eqnarray} \]答え…5
R3.1(1) A-19
次の記述は、ハイトパターンの測定について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とし、大地は完全導体平面で反射係数を\(\,-1\,\)とする。
- 超短波(VHF)の電波伝搬において、送信アンテナの地上高、送信周波数、送信電力及び送受信点間距離を一定にしておいて、受信アンテナの高さを上下に移動させて電界強度を測定すると、直接波と大地反射波との干渉により、図に示すようなハイトパターンが得られる。
- 直接波と大地反射波との通路差\(\,\Delta l\,\)は、送信及び受信アンテナの高さをそれぞれ\(\,h_1\,[\mathrm{m}]\,\)、\(\,h_2\,[\mathrm{m}]\,\)及び送受信点間の距離を\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とし、\(\,d\gg(h_1+h_2)\,\)とすると、次式で表される。 \[ \Delta l\fallingdotseq\boxed{\quad\text{A}\quad}\,[\mathrm{m}] \] 受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)は、自由空間電界強度を\(\,E_0\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすると、次式で表される。 \[ |E|\fallingdotseq2E_0\times|\boxed{\quad\text{B}\quad}|\,[\mathrm{V/m}] \]
- ハイトパターンの受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)が極大になる受信アンテナの高さ\(\,h_{m2}\,\)と\(\,h_{m1}\,\)との差\(\,\Delta h\,\)は、\(\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)である。
解法
送信アンテナ、受信アンテナ、送信アンテナからの水平線と受信アンテナからの垂直線との交点の3点による直角三角形を考えた場合に、斜辺が直接波の伝搬距離に相当する。直接波の伝搬距離を\(\,l_1\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、三平方の定理より次式のように求められる。
\[ \begin{eqnarray} {l_1}^2&=&d^2+(h_1-h_2)^2 \\ l_1&=&\sqrt{d^2+(h_1-h_2)^2} \\ &=&\sqrt{d^2\left\{1+\cfrac{(h_1-h_2)^2}{d^2}\right\}} \\ &=&d\sqrt{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2} \\ &=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \end{eqnarray} \]ここで、\(\,d\gg(h_1+h_2)\,\)なので
\[ \begin{eqnarray} l_1&=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \\ &\fallingdotseq&d\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\} \\ &=&d+\cfrac12\cfrac{(h_1-h_2)^2}d \\ &=&d+\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \\ \end{eqnarray} \]一方、大地反射波については、大地に反射し受信アンテナに到達した場合の伝搬距離と、受信アンテナが地下に逆さに設置されていると仮定し、大地に反射せずに地表を突き抜け架空の地下の受信アンテナに到達した場合の伝搬距離とは等しくなる。よって、送信アンテナ、架空の地下受信アンテナ、送信アンテナからの水平線と受信アンテナからの垂直線との交点の3点による直角三角形を考えた場合、大地反射波の伝搬距離を\(\,l_2\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、
\[ \begin{eqnarray} {l_2}^2&=&d^2+(h_1+h_2)^2 \\ l_2&=&\sqrt{d^2+(h_1+h_2)^2} \\ &=&\sqrt{d^2\left\{1+\cfrac{(h_1+h_2)^2}{d^2}\right\}} \\ &=&d\sqrt{1+\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2} \\ &=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \\ &\fallingdotseq&d\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2\right\} \\ &=&d+\cfrac12\cfrac{(h_1+h_2)^2}d \\ &=&d+\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \end{eqnarray} \]これより、直接波と大地反射波との通路差\(\,\Delta l\,\)は
\[ \begin{eqnarray} \Delta l&=&l_2-l_1 \\ &=&\left(d+\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}\right)-\left(d+\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}\right) \\ &=&\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}-\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \\ &=&\cfrac{({h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2)-({h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2)}{2d} \\ &=&\cfrac{4h_1h_2}{2d} \\ &=&\cfrac{2h_1h_2}d\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \end{eqnarray} \]受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)は、自由空間電界強度を\(\,E_0\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすると、
\[ |E|\fallingdotseq2E_0\times\left|\sin\cfrac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\right|\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \]受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)が極大になるのは\(\,\sin\frac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\,\)が最大になるときであり、つまり\(\,\frac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\,\)が\(\,\pi(1/2+n),(nは整数)\,\)になる場合である。題意では、送信アンテナの地上高、送信周波数、送信電力及び送受信点間距離を一定にしておいて、受信アンテナの地上高\(\,h_2\,\)を変化させたときに、受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)が最初に極大になる高さ\(\,h_{m1}\,[\mathrm{m}]\,\)と、次に極大になる高さ\(\,h_{m2}\,[\mathrm{m}]\,\)との差を\(\,\Delta h\,[\mathrm{m}]\,\)として求めるとしている。すなわち
\[ \begin{eqnarray} \cfrac{2\pi h_1h_{m1}}{\lambda d}&=&\pi(\cfrac12+n) \\ \cfrac{2\pi h_1h_{m2}}{\lambda d}&=&\pi(\cfrac12+n+1) \end{eqnarray} \]これを整理すると
\[ \cfrac{2\pi h_1h_{m2}}{\lambda d}-\cfrac{2\pi h_1h_{m1}}{\lambda d}=\pi \]また
\[ \Delta h=h_{m2}-h_{m1} \]である。これより
\[ \begin{eqnarray} \cfrac{2\pi h_1}{\lambda d}(h_{m2}-h_{m1})&=&\pi \\ h_{m2}-h_{m1}&=&\pi\times\cfrac{\lambda d}{2\pi h_1} \\ &=&\cfrac{\lambda d}{2h_1} \\ \therefore\Delta h&=&\cfrac{\lambda d}{2h_1}\cdots\boxed{\quad\text{C}\quad} \end{eqnarray} \]答え…1
H31.1 A-19
次の記述は、ハイトパターンの測定について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とし、大地は完全導体平面で反射係数を\(\,-1\,\)とする。
- 超短波(VHF)の電波伝搬において、送信アンテナの地上高、送信周波数、送信電力及び送受信点間距離を一定にして、受信アンテナの高さを上下に移動させて電界強度を測定すると、直接波と大地反射波との干渉により、図に示すようなハイトパターンが得られる。
- 直接波と大地反射波との通路差\(\,\Delta l\,\)は、送信及び受信アンテナの高さをそれぞれ\(\,h_1\,[\mathrm{m}]\,\)、\(\,h_2\,[\mathrm{m}]\,\)、送受信点間の距離を\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とし、\(\,d\gg(h_1+h_2)\,\)とすると、次式で表される。 \[ \Delta l\fallingdotseq\boxed{\quad\text{A}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
- ハイトパターンの受信電界強度が極大になる受信アンテナの高さ\(\,h_{m2}\,\)と\(\,h_{m1}\,\)との差\(\,\Delta h\,\)は、\(\boxed{\quad\text{B}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)である。
解法
送信アンテナ、受信アンテナ、送信アンテナからの水平線と受信アンテナからの垂直線との交点の3点による直角三角形を考えた場合に、斜辺が直接波の伝搬距離に相当する。直接波の伝搬距離を\(\,l_1\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、三平方の定理より次式のように求められる。
\[ \begin{eqnarray} {l_1}^2&=&d^2+(h_1-h_2)^2 \\ l_1&=&\sqrt{d^2+(h_1-h_2)^2} \\ &=&\sqrt{d^2\left\{1+\cfrac{(h_1-h_2)^2}{d^2}\right\}} \\ &=&d\sqrt{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2} \\ &=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \end{eqnarray} \]ここで、\(\,d\gg(h_1+h_2)\,\)なので
\[ \begin{eqnarray} l_1&=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \\ &\fallingdotseq&d\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\} \\ &=&d+\cfrac12\cfrac{(h_1-h_2)^2}d \\ &=&d+\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \\ \end{eqnarray} \]一方、大地反射波については、大地に反射し受信アンテナに到達した場合の伝搬距離と、受信アンテナが地下に逆さに設置されていると仮定し、大地に反射せずに地表を突き抜け架空の地下の受信アンテナに到達した場合の伝搬距離とは等しくなる。よって、送信アンテナ、架空の地下受信アンテナ、送信アンテナからの水平線と受信アンテナからの垂直線との交点の3点による直角三角形を考えた場合、大地反射波の伝搬距離を\(\,l_2\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、
\[ \begin{eqnarray} {l_2}^2&=&d^2+(h_1+h_2)^2 \\ l_2&=&\sqrt{d^2+(h_1+h_2)^2} \\ &=&\sqrt{d^2\left\{1+\cfrac{(h_1+h_2)^2}{d^2}\right\}} \\ &=&d\sqrt{1+\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2} \\ &=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \\ &\fallingdotseq&d\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2\right\} \\ &=&d+\cfrac12\cfrac{(h_1+h_2)^2}d \\ &=&d+\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \end{eqnarray} \]これより、直接波と大地反射波との通路差\(\,\Delta l\,\)は
\[ \begin{eqnarray} \Delta l&=&l_2-l_1 \\ &=&\left(d+\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}\right)-\left(d+\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}\right) \\ &=&\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}-\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \\ &=&\cfrac{({h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2)-({h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2)}{2d} \\ &=&\cfrac{4h_1h_2}{2d} \\ &=&\cfrac{2h_1h_2}d\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \end{eqnarray} \]受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)は、自由空間電界強度を\(\,E_0\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすると、
\[ |E|\fallingdotseq2E_0\times\left|\sin\cfrac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\right| \]受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)が極大になるのは\(\,\sin\frac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\,\)が最大になるときであり、つまり\(\,\frac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\,\)が\(\,\pi(1/2+n),(nは整数)\,\)になる場合である。題意では、送信アンテナの地上高、送信周波数、送信電力及び送受信点間距離を一定にしておいて、受信アンテナの地上高\(\,h_2\,\)を変化させたときに、受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)が最初に極大になる高さ\(\,h_{m1}\,[\mathrm{m}]\,\)と、次に極大になる高さ\(\,h_{m2}\,[\mathrm{m}]\,\)との差を\(\,\Delta h\,[\mathrm{m}]\,\)として求めるとしている。すなわち
\[ \begin{eqnarray} \cfrac{2\pi h_1h_{m1}}{\lambda d}&=&\pi(\cfrac12+n) \\ \cfrac{2\pi h_1h_{m2}}{\lambda d}&=&\pi(\cfrac12+n+1) \end{eqnarray} \]これを整理すると
\[ \cfrac{2\pi h_1h_{m2}}{\lambda d}-\cfrac{2\pi h_1h_{m1}}{\lambda d}=\pi \]また
\[ \Delta h=h_{m2}-h_{m1} \]である。これより
\[ \begin{eqnarray} \cfrac{2\pi h_1}{\lambda d}(h_{m2}-h_{m1})&=&\pi \\ h_{m2}-h_{m1}&=&\pi\times\cfrac{\lambda d}{2\pi h_1} \\ &=&\cfrac{\lambda d}{2h_1} \\ \therefore\Delta h&=&\cfrac{\lambda d}{2h_1}\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \end{eqnarray} \]答え…1
H29.7 A-20
次の記述は、ハイトパターンの測定について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とし、大地は完全導体平面で反射係数を\(\,-1\,\)とする。
- 超短波(VHF)の電波伝搬において、送信アンテナの地上高、送信周波数、送信電力及び送受信点間距離を一定にしておいて、受信アンテナの高さを上下に移動させて電界強度を測定すると、直接波と大地反射波との干渉により、図に示すようなハイトパターンが得られる。
- 直接波と大地反射波との通路差\(\,\Delta l\,\)は、送信及び受信アンテナの高さをそれぞれ\(\,h_1\,[\mathrm{m}]\,\)、\(\,h_2\,[\mathrm{m}]\,\)及び送受信点間の距離を\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とし、\(\,d\gg(h_1+h_2)\,\)とすると、次式で表される。 \[ \Delta l\fallingdotseq\boxed{\quad\text{A}\quad}\,[\mathrm{m}] \] 受信電界強度\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)は、自由空間電界強度を\(\,E_0\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすると、次式で表される。 \[ E\fallingdotseq2E_0\times|\boxed{\quad\text{B}\quad}|\,[\mathrm{V/m}] \]
- ハイトパターンの受信電界強度\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)が極大になる受信アンテナの高さ\(\,h_{m2}\,\)と\(\,h_{m1}\,\)との差\(\,\Delta h\,\)は、\(\boxed{\quad\text{C}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)である。
解法
送信アンテナ、受信アンテナ、送信アンテナからの水平線と受信アンテナからの垂直線との交点の3点による直角三角形を考えた場合に、斜辺が直接波の伝搬距離に相当する。直接波の伝搬距離を\(\,l_1\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、三平方の定理より次式のように求められる。
\[ \begin{eqnarray} {l_1}^2&=&d^2+(h_1-h_2)^2 \\ l_1&=&\sqrt{d^2+(h_1-h_2)^2} \\ &=&\sqrt{d^2\left\{1+\cfrac{(h_1-h_2)^2}{d^2}\right\}} \\ &=&d\sqrt{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2} \\ &=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \end{eqnarray} \]ここで、\(\,d\gg(h_1+h_2)\,\)なので
\[ \begin{eqnarray} l_1&=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \\ &\fallingdotseq&d\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\} \\ &=&d+\cfrac12\cfrac{(h_1-h_2)^2}d \\ &=&d+\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \\ \end{eqnarray} \]一方、大地反射波については、大地に反射し受信アンテナに到達した場合の伝搬距離と、受信アンテナが地下に逆さに設置されていると仮定し、大地に反射せずに地表を突き抜け架空の地下の受信アンテナに到達した場合の伝搬距離とは等しくなる。よって、送信アンテナ、架空の地下受信アンテナ、送信アンテナからの水平線と受信アンテナからの垂直線との交点の3点による直角三角形を考えた場合、大地反射波の伝搬距離を\(\,l_2\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、
\[ \begin{eqnarray} {l_2}^2&=&d^2+(h_1+h_2)^2 \\ l_2&=&\sqrt{d^2+(h_1+h_2)^2} \\ &=&\sqrt{d^2\left\{1+\cfrac{(h_1+h_2)^2}{d^2}\right\}} \\ &=&d\sqrt{1+\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2} \\ &=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \\ &\fallingdotseq&d\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2\right\} \\ &=&d+\cfrac12\cfrac{(h_1+h_2)^2}d \\ &=&d+\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \end{eqnarray} \]これより、直接波と大地反射波との通路差\(\,\Delta l\,\)は
\[ \begin{eqnarray} \Delta l&=&l_2-l_1 \\ &=&\left(d+\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}\right)-\left(d+\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}\right) \\ &=&\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}-\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \\ &=&\cfrac{({h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2)-({h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2)}{2d} \\ &=&\cfrac{4h_1h_2}{2d} \\ &=&\cfrac{2h_1h_2}d\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \end{eqnarray} \]受信電界強度\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)は、自由空間電界強度を\(\,E_0\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすると、
\[ E\fallingdotseq2E_0\times\left|\sin\cfrac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\right|\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \]受信電界強度\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)が極大になるのは\(\,\sin\frac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\,\)が最大になるときであり、つまり\(\,\frac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\,\)が\(\,\pi(1/2+n),(nは整数)\,\)になる場合である。題意では、送信アンテナの地上高、送信周波数、送信電力及び送受信点間距離を一定にしておいて、受信アンテナの地上高\(\,h_2\,\)を変化させたときに、受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)が最初に極大になる高さ\(\,h_{m1}\,[\mathrm{m}]\,\)と、次に極大になる高さ\(\,h_{m2}\,[\mathrm{m}]\,\)との差を\(\,\Delta h\,[\mathrm{m}]\,\)として求めるとしている。すなわち
\[ \begin{eqnarray} \cfrac{2\pi h_1h_{m1}}{\lambda d}&=&\pi(\cfrac12+n) \\ \cfrac{2\pi h_1h_{m2}}{\lambda d}&=&\pi(\cfrac12+n+1) \end{eqnarray} \]これを整理すると
\[ \cfrac{2\pi h_1h_{m2}}{\lambda d}-\cfrac{2\pi h_1h_{m1}}{\lambda d}=\pi \]また
\[ \Delta h=h_{m2}-h_{m1} \]である。これより
\[ \begin{eqnarray} \cfrac{2\pi h_1}{\lambda d}(h_{m2}-h_{m1})&=&\pi \\ h_{m2}-h_{m1}&=&\pi\times\cfrac{\lambda d}{2\pi h_1} \\ &=&\cfrac{\lambda d}{2h_1} \\ \therefore\Delta h&=&\cfrac{\lambda d}{2h_1}\cdots\boxed{\quad\text{C}\quad} \end{eqnarray} \]答え…5
H28.7 A-20
次の記述は、ハイトパターンの測定について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とし、大地は完全導体平面で反射係数を\(\,-1\,\)とする。
- 超短波(VHF)の電波伝搬において、送信アンテナの地上高、送信周波数、送信電力及び送受信点間距離を一定にして、受信アンテナの高さを上下に移動させて電界強度を測定すると、直接波と大地反射波との干渉により、図に示すようなハイトパターンが得られる。
- 直接波と大地反射波との通路差\(\,\Delta l\,\)は、送信及び受信アンテナの高さをそれぞれ\(\,h_1\,[\mathrm{m}]\,\)、\(\,h_2\,[\mathrm{m}]\,\)、送受信点間の距離を\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)とし、\(\,d\gg(h_1+h_2)\,\)とすると、次式で表される。 \[ \Delta l\fallingdotseq\boxed{\quad\text{A}\quad}\,[\mathrm{m}] \]
- ハイトパターンの受信電界強度が極大になる受信アンテナの高さ\(\,h_{m2}\,\)と\(\,h_{m1}\,\)との差\(\,\Delta h\,\)は、\(\boxed{\quad\text{B}\quad}\,[\mathrm{m}]\,\)である。
解法
送信アンテナ、受信アンテナ、送信アンテナからの水平線と受信アンテナからの垂直線との交点の3点による直角三角形を考えた場合に、斜辺が直接波の伝搬距離に相当する。直接波の伝搬距離を\(\,l_1\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、三平方の定理より次式のように求められる。
\[ \begin{eqnarray} {l_1}^2&=&d^2+(h_1-h_2)^2 \\ l_1&=&\sqrt{d^2+(h_1-h_2)^2} \\ &=&\sqrt{d^2\left\{1+\cfrac{(h_1-h_2)^2}{d^2}\right\}} \\ &=&d\sqrt{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2} \\ &=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \end{eqnarray} \]ここで、\(\,d\gg(h_1+h_2)\,\)なので
\[ \begin{eqnarray} l_1&=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \\ &\fallingdotseq&d\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{h_1-h_2}d\right)^2\right\} \\ &=&d+\cfrac12\cfrac{(h_1-h_2)^2}d \\ &=&d+\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \\ \end{eqnarray} \]一方、大地反射波については、大地に反射し受信アンテナに到達した場合の伝搬距離と、受信アンテナが地下に逆さに設置されていると仮定し、大地に反射せずに地表を突き抜け架空の地下の受信アンテナに到達した場合の伝搬距離とは等しくなる。よって、送信アンテナ、架空の地下受信アンテナ、送信アンテナからの水平線と受信アンテナからの垂直線との交点の3点による直角三角形を考えた場合、大地反射波の伝搬距離を\(\,l_2\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、
\[ \begin{eqnarray} {l_2}^2&=&d^2+(h_1+h_2)^2 \\ l_2&=&\sqrt{d^2+(h_1+h_2)^2} \\ &=&\sqrt{d^2\left\{1+\cfrac{(h_1+h_2)^2}{d^2}\right\}} \\ &=&d\sqrt{1+\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2} \\ &=&d\left\{1+\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2\right\}^{\frac12} \\ &\fallingdotseq&d\left\{1+\cfrac12\left(\cfrac{h_1+h_2}d\right)^2\right\} \\ &=&d+\cfrac12\cfrac{(h_1+h_2)^2}d \\ &=&d+\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \end{eqnarray} \]これより、直接波と大地反射波との通路差\(\,\Delta l\,\)は
\[ \begin{eqnarray} \Delta l&=&l_2-l_1 \\ &=&\left(d+\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}\right)-\left(d+\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}\right) \\ &=&\cfrac{{h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2}{2d}-\cfrac{{h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2}{2d} \\ &=&\cfrac{({h_1}^2+2h_1h_2+{h_2}^2)-({h_1}^2-2h_1h_2+{h_2}^2)}{2d} \\ &=&\cfrac{4h_1h_2}{2d} \\ &=&\cfrac{2h_1h_2}d\cdots\boxed{\quad\text{A}\quad} \end{eqnarray} \]受信電界強度\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)は、自由空間電界強度を\(\,E_0\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすると、
\[ E\fallingdotseq2E_0\times\left|\sin\cfrac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\right| \]受信電界強度\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)が極大になるのは\(\,\sin\frac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\,\)が最大になるときであり、つまり\(\,\frac{2\pi h_1h_2}{\lambda d}\,\)が\(\,\pi(1/2+n),(nは整数)\,\)になる場合である。題意では、送信アンテナの地上高、送信周波数、送信電力及び送受信点間距離を一定にしておいて、受信アンテナの地上高\(\,h_2\,\)を変化させたときに、受信電界強度\(\,|E|\,[\mathrm{V/m}]\,\)が最初に極大になる高さ\(\,h_{m1}\,[\mathrm{m}]\,\)と、次に極大になる高さ\(\,h_{m2}\,[\mathrm{m}]\,\)との差を\(\,\Delta h\,[\mathrm{m}]\,\)として求めるとしている。すなわち
\[ \begin{eqnarray} \cfrac{2\pi h_1h_{m1}}{\lambda d}&=&\pi(\cfrac12+n) \\ \cfrac{2\pi h_1h_{m2}}{\lambda d}&=&\pi(\cfrac12+n+1) \end{eqnarray} \]これを整理すると
\[ \cfrac{2\pi h_1h_{m2}}{\lambda d}-\cfrac{2\pi h_1h_{m1}}{\lambda d}=\pi \]また
\[ \Delta h=h_{m2}-h_{m1} \]である。これより
\[ \begin{eqnarray} \cfrac{2\pi h_1}{\lambda d}(h_{m2}-h_{m1})&=&\pi \\ h_{m2}-h_{m1}&=&\pi\times\cfrac{\lambda d}{2\pi h_1} \\ &=&\cfrac{\lambda d}{2h_1} \\ \therefore\Delta h&=&\cfrac{\lambda d}{2h_1}\cdots\boxed{\quad\text{B}\quad} \end{eqnarray} \]