R6.1 A-6
図に示す無損失の平行二線式給電線の点\(\,ab\,\)間のインピーダンス\(\,Z_{ab}\,\)の値として、正しいものを下の番号から選べ。ただし、給電線の特性インピーダンスを\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とする。また、給電線の長さ\(\,l_1\,[\mathrm{m}]\,\)、\(\,l_2\,[\mathrm{m}]\,\)の間には、\(\,l_1+l_2=\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)の関係式が成り立ち、\(\,l_1\ne0\,[\mathrm{m}]\,\)、\(\,l_2\ne0\,[\mathrm{m}]\,\)とする。
解法
受端短絡線路のインピーダンス\(\,\dot{Z}\,\)は
\[ \dot{Z}=jZ_0tan\beta l \]アドミタンス\(\,\dot{Y}\,\)は
\[ \dot{Y}=\cfrac1{\dot{Z}} \]線路長\(\,l_1\,\)、\(\,l_2\,[\mathrm{m}]\,\)の受端短絡線路のアドミタンスを\(\,\dot{Y_1}\,\)、\(\,\dot{Y_2}\,[\mathrm{S}]\,\)とすると、点\(\,ab\,\)間はそれらが並列に接続されているので、合成アドミタンス\(\,\dot{Y_{ab}}\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} \dot{Y_{ab}}&=&\cfrac1{jZ_0\tan\beta l_1}+\cfrac1{jZ_0\tan\beta l_2} \\ &=&-j\cfrac1{Z_0}(\cot\beta l_1+\cot\beta l_2) \\ &=&-j\cfrac1{Z_0}\{\cot\beta l_1+\cot\{\beta(\lambda-l_1)\}\} \\ &=&-j\cfrac1{Z_0}\{\cot\beta l_1+\cot(\beta\lambda-\beta l_1)\} \end{eqnarray} \]位相定数\(\,\beta=2\pi/\lambda\,\)を代入すると
\[ \begin{eqnarray} \dot{Y_{ab}}&=&-j\cfrac1{Z_0}\left\{\cot\left(\cfrac{2\pi}\lambda l_1\right)+\cot\left(\cfrac{2\pi}\lambda \lambda-\cfrac{2\pi}\lambda l_1\right)\right\} \\ &=&-j\cfrac1{Z_0}\left\{\cot\left(\cfrac{2\pi}\lambda l_1\right)+\cot\left(2\pi-\cfrac{2\pi}\lambda l_1\right)\right\} \end{eqnarray} \]\(\cot(2\pi+\theta)=\cot\theta\,\)なので
\[ \begin{eqnarray} \dot{Y_{ab}}&=&-j\cfrac1{Z_0}\left\{\cot\left(\cfrac{2\pi}\lambda l_1\right)+\cot\left(-\cfrac{2\pi}\lambda l_1\right)\right\} \end{eqnarray} \]\(\cot(-\theta)=-\cot\theta\,\)なので
\[ \begin{eqnarray} \dot{Y_{ab}}&=&-j\cfrac1{Z_0}\left\{\cot\left(\cfrac{2\pi}\lambda l_1\right)-\cot\left(\cfrac{2\pi}\lambda l_1\right)\right\} \\ &=&0 \end{eqnarray} \]よって
\[ \dot{Z_{ab}}=\cfrac1{\dot{Y_{ab}}}=\cfrac10=\infty \]答え…5
R3.1(1) A-6
図に示す無損失の平行二線式給電線の点\(\,ab\,\)間のインピーダンス\(\,Z_{ab}\,\)の値として、正しいものを下の番号から選べ。ただし、給電線の特性インピーダンスを\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とする。また、給電線の長さ\(\,l_1\,[\mathrm{m}]\,\)、\(\,l_2\,[\mathrm{m}]\,\)の間には、\(\,l_1+l_2=\lambda/2\,[\mathrm{m}]\,\)の関係式が成り立ち、\(\,l_1\ne0\,[\mathrm{m}]\,\)、\(\,l_2\ne0\,[\mathrm{m}]\,\)とする。
解法
受端短絡線路のインピーダンス\(\,\dot{Z}\,\)は
\[ \dot{Z}=jZ_0tan\beta l \]アドミタンス\(\,\dot{Y}\,\)は
\[ \dot{Y}=\cfrac1{\dot{Z}} \]線路長\(\,l_1\,\)、\(\,l_2\,[\mathrm{m}]\,\)の受端短絡線路のアドミタンスを\(\,\dot{Y_1}\,\)、\(\,\dot{Y_2}\,[\mathrm{S}]\,\)とすると、点\(\,ab\,\)間はそれらが並列に接続されているので、合成アドミタンス\(\,\dot{Y_{ab}}\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} \dot{Y_{ab}}&=&\cfrac1{jZ_0\tan\beta l_1}+\cfrac1{jZ_0\tan\beta l_2} \\ &=&-j\cfrac1{Z_0}(\cot\beta l_1+\cot\beta l_2) \\ &=&-j\cfrac1{Z_0}\left\{\cot\beta l_1+\cot\beta\left(\cfrac{\lambda}2-l_1\right)\right\} \end{eqnarray} \]ここで\(\,\cot\theta=-\cot(\pi-\theta)\,\)なので
\[ \begin{eqnarray} \dot{Y_{ab}}&=&-j\cfrac1{Z_0}\left\{\cot\beta l_1-\cot\left\{\pi-\beta\left(\cfrac{\lambda}2-l_1\right)\right\}\right\} \\ &=&-j\cfrac1{Z_0}\left\{\cot\beta l_1-\cot\left(\pi-\beta\cfrac{\lambda}2+\beta l_1\right)\right\} \end{eqnarray} \]位相定数\(\,\beta=2\pi/\lambda\,\)を代入すると
\[ \begin{eqnarray} \dot{Y_{ab}}&=&-j\cfrac1{Z_0}\left\{\cot\cfrac{2\pi}{\lambda}l_1-\cot\left(\pi-\cfrac{2\pi}{\lambda}\cfrac{\lambda}2+\cfrac{2\pi}{\lambda}l_1\right)\right\} \\ &=&-j\cfrac1{Z_0}\left\{\cot\cfrac{2\pi}{\lambda}l_1-\cot\cfrac{2\pi}{\lambda}l_1\right\} \\ &=&0 \end{eqnarray} \]よって
\[ \dot{Z_{ab}}=\cfrac1{\dot{Y_{ab}}}=\cfrac10=\infty \]答え…2
H29.7 A-6
図に示す無損失の平行二線式給電線の点\(\,ab\,\)間のインピーダンス\(\,Z_{ab}\,\)の値として、正しいものを下の番号から選べ。ただし、給電線の特性インピーダンスを\(\,Z_0\,[\mathrm{\Omega}]\,\)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とする。また、給電線の長さ\(\,l_1\,[\mathrm{m}]\,\)、\(\,l_2\,[\mathrm{m}]\,\)の間には、\(\,l_1+l_2=\lambda/2\,[\mathrm{m}]\,\)の関係式が成り立ち、\(\,l_1\ne0\,[\mathrm{m}]\,\)、\(\,l_2\ne0\,[\mathrm{m}]\,\)とする。
解法
受端短絡線路のインピーダンス\(\,\dot{Z}\,\)は
\[ \dot{Z}=jZ_0tan\beta l \]アドミタンス\(\,\dot{Y}\,\)は
\[ \dot{Y}=\cfrac1{\dot{Z}} \]線路長\(\,l_1\,\)、\(\,l_2\,[\mathrm{m}]\,\)の受端短絡線路のアドミタンスを\(\,\dot{Y_1}\,\)、\(\,\dot{Y_2}\,[\mathrm{S}]\,\)とすると、点\(\,ab\,\)間はそれらが並列に接続されているので、合成アドミタンス\(\,\dot{Y_{ab}}\,\)は次式で表される。
\[ \begin{eqnarray} \dot{Y_{ab}}&=&\cfrac1{jZ_0\tan\beta l_1}+\cfrac1{jZ_0\tan\beta l_2} \\ &=&-j\cfrac1{Z_0}(\cot\beta l_1+\cot\beta l_2) \\ &=&-j\cfrac1{Z_0}\left\{\cot\beta l_1+\cot\beta\left(\cfrac{\lambda}2-l_1\right)\right\} \end{eqnarray} \]ここで\(\,\cot\theta=-\cot(\pi-\theta)\,\)なので
\[ \begin{eqnarray} \dot{Y_{ab}}&=&-j\cfrac1{Z_0}\left\{\cot\beta l_1-\cot\left\{\pi-\beta\left(\cfrac{\lambda}2-l_1\right)\right\}\right\} \\ &=&-j\cfrac1{Z_0}\left\{\cot\beta l_1-\cot\left(\pi-\beta\cfrac{\lambda}2+\beta l_1\right)\right\} \end{eqnarray} \]位相定数\(\,\beta=2\pi/\lambda\,\)を代入すると
\[ \begin{eqnarray} \dot{Y_{ab}}&=&-j\cfrac1{Z_0}\left\{\cot\cfrac{2\pi}{\lambda}l_1-\cot\left(\pi-\cfrac{2\pi}{\lambda}\cfrac{\lambda}2+\cfrac{2\pi}{\lambda}l_1\right)\right\} \\ &=&-j\cfrac1{Z_0}\left\{\cot\cfrac{2\pi}{\lambda}l_1-\cot\cfrac{2\pi}{\lambda}l_1\right\} \\ &=&0 \end{eqnarray} \]よって
\[ \dot{Z_{ab}}=\cfrac1{\dot{Y_{ab}}}=\cfrac10=\infty \]