R6.1 A-7
図に示す整合回路を用いて、特性インピーダンス\(\,Z_0\,\)が\(\,730\,[\mathrm{\Omega}]\,\)の無損失の平行二線式給電線と入力インピーダンス\(\,Z\,\)が\(\,73\,[\mathrm{\Omega}]\,\)の半波長ダイポールアンテナとを整合させるために必要な静電容量\(\,C\,\)の値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、周波数を\(\,20/\pi\,[\mathrm{MHz}]\,\)とする。
解法
給電線と整合回路の接続点において、左右を見たインピーダンスが等しければ整合をとることができる。そのときアドミタンスが等しくなるので、次式が成り立つ。
\[ \cfrac1{Z_0}=j\omega C+\cfrac1{Z+j2\omega L} \]これを整理すると
\[ \begin{eqnarray} \cfrac1{Z_0}(Z+j2\omega L)&=&\left(j\omega C+\cfrac1{Z+j2\omega L}\right)(Z+j2\omega L) \\ &=&j\omega C(Z+j2\omega L)+1 \\ &=&j\omega CZ-2\omega^2LC+1 \\ \cfrac1{Z_0}(Z+j2\omega L)Z_0&=&(j\omega CZ-2\omega^2LC+1)Z_0 \\ Z+j2\omega L&=&j\omega CZZ_0-2\omega^2LCZ_0+Z_0 \end{eqnarray} \]左辺と右辺それぞれの実数部と虚数部が等しくなるので、実数部は
\[ \begin{eqnarray} Z&=&-2\omega^2LCZ_0+Z_0 \\ &=&Z_0-2\omega^2LCZ_0\cdots\text{①} \end{eqnarray} \]虚数部は
\[ \begin{eqnarray} j2\omega L&=&j\omega CZZ_0 \\ 2L&=&CZZ_0\cdots\text{②} \end{eqnarray} \]式②を式①に代入し
\[ \begin{eqnarray} Z&=&Z_0-\omega^2CZ_0\times CZZ_0 \\ &=&Z_0-\omega^2C^2Z{Z_0}^2 \end{eqnarray} \]上式を\(\,C\,\)について解くと
\[ \begin{eqnarray} Z&=&Z_0-\omega^2C^2Z{Z_0}^2 \\ \omega^2C^2Z{Z_0}^2&=&Z_0-Z \\ C^2&=&\cfrac{Z_0-Z}{\omega^2Z{Z_0}^2} \\ &=&\cfrac1{\omega^2{Z_0}^2}\cfrac{Z_0-Z}Z \\ C&=&\sqrt{\cfrac1{\omega^2{Z_0}^2}\cfrac{Z_0-Z}Z} \\ &=&\cfrac1{\omega Z_0}\sqrt{\cfrac{Z_0-Z}Z} \end{eqnarray} \]\(\omega=2\pi f\,\)、\(f=20\,[\mathrm{MHz}]\)、\(Z_0=730\,[\mathrm{\Omega}]\)、\(Z=73\,[\mathrm{\Omega}]\,\)として、上式を解くと
\[ \begin{eqnarray} C&=&\cfrac1{2\pi\times\frac{20}{\pi}\times10^6\times730}\sqrt{\cfrac{730-73}{73}} \\ &=&\cfrac1{2\times20\times10^6\times730}\sqrt{\cfrac{(10-1)73}{73}} \\ &=&\cfrac1{2\times2\times10^7\times730}\sqrt{9} \\ &=&\cfrac1{4\times7.3\times10^9}\times3 \\ &=&\cfrac3{29.2}\times10^{-9} \\ &\fallingdotseq&0.1027\times10^{-9} \\ &=&102.7\times10^{-12}\,[\mathrm{F}] \\ &=&102.7\,[\mathrm{pF}] \\ \end{eqnarray} \]答え…5
R4.1(1) A-9
図に示す整合回路を用いて、特性インピーダンス\(\,Z_0\,\)が\(\,730\,[\mathrm{\Omega}]\,\)の無損失の平行二線式給電線と入力インピーダンス\(\,Z\,\)が\(\,73\,[\mathrm{\Omega}]\,\)の半波長ダイポールアンテナとを整合させるために必要な静電容量\(\,C\,\)の値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、周波数を\(\,30/\pi\,[\mathrm{MHz}]\,\)とする。
解法
給電線と整合回路の接続点において、左右を見たインピーダンスが等しければ整合をとることができる。そのときアドミタンスが等しくなるので、次式が成り立つ。
\[ \cfrac1{Z_0}=j\omega C+\cfrac1{Z+j2\omega L} \]これを整理すると
\[ \begin{eqnarray} \cfrac1{Z_0}(Z+j2\omega L)&=&\left(j\omega C+\cfrac1{Z+j2\omega L}\right)(Z+j2\omega L) \\ &=&j\omega C(Z+j2\omega L)+1 \\ &=&j\omega CZ-2\omega^2LC+1 \\ \cfrac1{Z_0}(Z+j2\omega L)Z_0&=&(j\omega CZ-2\omega^2LC+1)Z_0 \\ Z+j2\omega L&=&j\omega CZZ_0-2\omega^2LCZ_0+Z_0 \end{eqnarray} \]左辺と右辺それぞれの実数部と虚数部が等しくなるので、実数部は
\[ \begin{eqnarray} Z&=&-2\omega^2LCZ_0+Z_0 \\ &=&Z_0-2\omega^2LCZ_0\cdots\text{①} \end{eqnarray} \]虚数部は
\[ \begin{eqnarray} j2\omega L&=&j\omega CZZ_0 \\ 2L&=&CZZ_0\cdots\text{②} \end{eqnarray} \]式②を式①に代入し
\[ \begin{eqnarray} Z&=&Z_0-\omega^2CZ_0\times CZZ_0 \\ &=&Z_0-\omega^2C^2Z{Z_0}^2 \end{eqnarray} \]\(\omega=2\pi f\,\)として、上式を\(\,C\,\)について解くと
\[ \begin{eqnarray} Z&=&Z_0-\omega^2C^2Z{Z_0}^2 \\ \omega^2C^2Z{Z_0}^2&=&Z_0-Z \\ C^2&=&\cfrac{Z_0-Z}{\omega^2Z{Z_0}^2} \\ &=&\cfrac1{\omega^2{Z_0}^2}\cfrac{Z_0-Z}Z \\ C&=&\sqrt{\cfrac1{\omega^2{Z_0}^2}\cfrac{Z_0-Z}Z} \\ &=&\cfrac1{\omega Z_0}\sqrt{\cfrac{Z_0-Z}Z} \\ &=&\cfrac1{2\pi\times\frac{30}{\pi}\times10^6\times730}\sqrt{\cfrac{730-73}{73}} \\ &=&\cfrac1{2\times30\times10^6\times730}\sqrt{\cfrac{(10-1)73}{73}} \\ &=&\cfrac1{2\times3\times10^7\times730}\sqrt{9} \\ &=&\cfrac1{6\times7.3\times10^9}\times3 \\ &=&\cfrac1{2\times7.3\times10^9} \\ &=&\cfrac1{14.6}\times10^{-9} \\ &\fallingdotseq&0.0685\times10^{-9} \\ &=&68.5\times10^{-12}\,[\mathrm{F}] \\ &=&68.5\,[\mathrm{pF}] \\ \end{eqnarray} \]答え…3
R3.7(1) A-8
図に示す整合回路を用いて、特性インピーダンス\(\,Z_0\,\)が\(\,730\,[\mathrm{\Omega}]\,\)の無損失の平行二線式給電線と入力インピーダンス\(\,Z\,\)が\(\,73\,[\mathrm{\Omega}]\,\)の半波長ダイポールアンテナとを整合させるために必要なインダクタンス\(\,L\,\)の値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、周波数を\(\,40/\pi\,[\mathrm{MHz}]\,\)とする。
解法
給電線と整合回路の接続点において、左右を見たインピーダンスが等しければ整合をとることができる。そのときアドミタンスが等しくなるので、次式が成り立つ。
\[ \cfrac1{Z_0}=j\omega C+\cfrac1{Z+j2\omega L} \]これを整理すると
\[ \begin{eqnarray} \cfrac1{Z_0}(Z+j2\omega L)&=&\left(j\omega C+\cfrac1{Z+j2\omega L}\right)(Z+j2\omega L) \\ &=&j\omega C(Z+j2\omega L)+1 \\ &=&j\omega CZ-2\omega^2LC+1 \\ \cfrac1{Z_0}(Z+j2\omega L)Z_0&=&(j\omega CZ-2\omega^2LC+1)Z_0 \\ Z+j2\omega L&=&j\omega CZZ_0-2\omega^2LCZ_0+Z_0 \end{eqnarray} \]左辺と右辺それぞれの実数部と虚数部が等しくなるので、実数部は
\[ \begin{eqnarray} Z&=&-2\omega^2LCZ_0+Z_0 \\ &=&Z_0-2\omega^2LCZ_0\cdots\text{①} \end{eqnarray} \]虚数部は
\[ \begin{eqnarray} j2\omega L&=&j\omega CZZ_0 \\ 2L&=&CZZ_0 \\ C&=&\cfrac{2L}{ZZ_0}\cdots\text{②} \end{eqnarray} \]式②を式①に代入し
\[ \begin{eqnarray} Z&=&Z_0-2\omega^2LZ_0\cfrac{2L}{ZZ_0} \\ &=&Z_0-\cfrac{4\omega^2L^2}Z \end{eqnarray} \]\(\omega=2\pi f\,\)として、上式を\(\,L\,\)について解くと
\[ \begin{eqnarray} \cfrac{4\omega^2L^2}Z&=&Z_0-Z \\ 4\omega^2L^2&=&(Z_0-Z)Z \\ L^2&=&\cfrac{(Z_0-Z)Z}{4\omega^2} \\ L&=&\sqrt{\cfrac{(Z_0-Z)Z}{4\omega^2}} \\ &=&\cfrac1{2\omega}\sqrt{(Z_0-Z)Z} \\ &=&\cfrac1{4\pi\times\frac{40}{\pi}\times10^6}\sqrt{(730-73)73} \\ &=&\cfrac1{4^2\times10^7}\sqrt{(10-1)73^2} \\ &=&\cfrac{\sqrt{9\times73^2}}{4^2}\times10^{-7} \\ &=&\cfrac{\sqrt{3^2\times73^2}}{4^2}\times10^{-7} \\ &=&\cfrac{3\times73}{4^2}\times10^{-7} \\ &\fallingdotseq&13.7\times10^{-7} \\ &=&1.37\times10^{-6}\,[\mathrm{H}] \\ &=&1.37\,[\mathrm{\mu H}] \\ \end{eqnarray} \]答え…5
H31.1 A-7
図に示す整合回路を用いて、特性インピーダンス\(\,Z_0\,\)が\(\,730\,[\mathrm{\Omega}]\,\)の無損失の平行二線式給電線と入力インピーダンス\(\,Z\,\)が\(\,73\,[\mathrm{\Omega}]\,\)の半波長ダイポールアンテナとを整合させるために必要な静電容量\(\,C\,\)の値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、周波数を\(\,40/\pi\,[\mathrm{MHz}]\,\)とする。
解法
給電線と整合回路の接続点において、左右を見たインピーダンスが等しければ整合をとることができる。そのときアドミタンスが等しくなるので、次式が成り立つ。
\[ \cfrac1{Z_0}=j\omega C+\cfrac1{Z+j2\omega L} \]これを整理すると
\[ \begin{eqnarray} \cfrac1{Z_0}(Z+j2\omega L)&=&\left(j\omega C+\cfrac1{Z+j2\omega L}\right)(Z+j2\omega L) \\ &=&j\omega C(Z+j2\omega L)+1 \\ &=&j\omega CZ-2\omega^2LC+1 \\ \cfrac1{Z_0}(Z+j2\omega L)Z_0&=&(j\omega CZ-2\omega^2LC+1)Z_0 \\ Z+j2\omega L&=&j\omega CZZ_0-2\omega^2LCZ_0+Z_0 \end{eqnarray} \]左辺と右辺それぞれの実数部と虚数部が等しくなるので、実数部は
\[ \begin{eqnarray} Z&=&-2\omega^2LCZ_0+Z_0 \\ &=&Z_0-2\omega^2LCZ_0\cdots\text{①} \end{eqnarray} \]虚数部は
\[ \begin{eqnarray} j2\omega L&=&j\omega CZZ_0 \\ 2L&=&CZZ_0\cdots\text{②} \end{eqnarray} \]式②を式①に代入し
\[ \begin{eqnarray} Z&=&Z_0-\omega^2CZ_0\times CZZ_0 \\ &=&Z_0-\omega^2C^2Z{Z_0}^2 \end{eqnarray} \]\(\omega=2\pi f\,\)として、上式を\(\,C\,\)について解くと
\[ \begin{eqnarray} Z&=&Z_0-\omega^2C^2Z{Z_0}^2 \\ \omega^2C^2Z{Z_0}^2&=&Z_0-Z \\ C^2&=&\cfrac{Z_0-Z}{\omega^2Z{Z_0}^2} \\ &=&\cfrac1{\omega^2{Z_0}^2}\cfrac{Z_0-Z}Z \\ C&=&\sqrt{\cfrac1{\omega^2{Z_0}^2}\cfrac{Z_0-Z}Z} \\ &=&\cfrac1{\omega Z_0}\sqrt{\cfrac{Z_0-Z}Z} \\ &=&\cfrac1{2\pi\times\frac{40}{\pi}\times10^6\times730}\sqrt{\cfrac{730-73}{73}} \\ &=&\cfrac1{2\times40\times10^6\times730}\sqrt{\cfrac{(10-1)73}{73}} \\ &=&\cfrac1{2\times4\times10^7\times730}\sqrt{9} \\ &=&\cfrac1{8\times7.3\times10^9}\times3 \\ &=&\cfrac3{8\times7.3\times10^9} \\ &=&\cfrac3{58.4}\times10^{-9} \\ &\fallingdotseq&0.0514\times10^{-9} \\ &=&51.4\times10^{-12}\,[\mathrm{F}] \\ &=&51.4\,[\mathrm{pF}] \\ \end{eqnarray} \]