R5.1(1) B-3
次の記述は、自由空間伝送損失を求める過程について述べたものである。\(\boxed{\phantom{1234}}\,\)内に入れるべき字句を下の番号から選べ。なお、同じ記号の\(\,\boxed{\phantom{1234}}\,\)内には、同じ字句が入るものとする。ただし、半波長ダイポールアンテナの放射抵抗を\(\,73.13\,[\mathrm{\Omega}]\,\)とし、アンテナの損失はないものとする。
- 相対利得\(\,G_t\,\)(真数)の送信アンテナに、電力\(\,P_t\,[\mathrm{W}]\,\)を供給すると、最大放射方向の距離\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)の地点\(\,Q\,\)における電界強度\(\,E\,\)は、次式で表される。 \[ E=\boxed{\quad\text{ア}\quad}\,[\mathrm{V/m}]\cdots\text{①} \]
- 地点\(\,Q\,\)に実効長\(\,h_e\,[\mathrm{m}]\,\)のアンテナを置いて受信するとき、アンテナの放射抵抗を\(\,R\,[\mathrm{\Omega}]\,\)とすると、アンテナの受信有能電力\(\,P_r\,\)は、次式で表される。 \[ P_r={\boxed{\quad\text{イ}\quad}}\,[\mathrm{W}]\cdots\text{②} \]
- 式①を式②に代入すれば、次式が得られる。 \[ \cfrac{P_r}{P_t}=\boxed{\quad\text{ウ}\quad}\cdots\text{③} \]
- 放射抵抗\(\,R\,[\mathrm{\Omega}]\,\)のアンテナの実効長\(\,h_e\,\)は、相対利得を\(\,G_r\,\)(真数)、波長を\(\,\lambda\,[\mathrm{m}]\,\)とすると、次式で表される。 \[ h_e=\boxed{\quad\text{エ}\quad}\cdots\text{④} \]
- 式③へ式④を代入すれば、\(P_r\,\)は、次式で表される。 \[ P_r\fallingdotseq\cfrac{P_tG_tG_r}{\boxed{\quad\text{オ}\quad}}\,[\mathrm{W}]\cdots\text{⑤} \]
- 式⑤の\(\,\boxed{\quad\text{オ}\quad}\,\)が、求める自由空間伝送損失である。
解法
半波長ダイポールアンテナ相対利得\(\,G_t\,\)(真数)、電力\(\,P_t\,[\mathrm{W}]\,\)、距離\(\,d\,[\mathrm{m}]\,\)が与えられている場合の受信電界強度\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)は
\[ E=\frac{7\sqrt{G_tP_t}}d\,[\mathrm{V/m}]\cdots\text{①} \]受信アンテナの実効長を\(\,h_e\,[\mathrm{m}]\,\)、受信地点での電界強度を\(\,E\,[\mathrm{V/m}]\,\)とすると、アンテナに誘起する電圧\(\,V_r\,[\mathrm{V}]\,\)は次式で表される。
\[ V_r=Ehe\,[\mathrm{V}] \]受信機と受信アンテナの整合がとれたとき受信電力が最大となり、そのとき受信アンテナに誘起している電圧は\(\,V_r/2\,\)となる。放射抵抗\(\,R\,[\mathrm{\Omega}]\,\)とすると、受信有能電力\(\,P_r\,[\mathrm{W}]\,\)は
\[ P_r=\cfrac{V^2}R=\cfrac{\left(\frac{Eh_e}2\right)^2}R=\cfrac{(Eh_e)^2}{4R}\,[\mathrm{W}]\cdots\text{②} \]上はR4.7(1) A-3、R2.11(1) A-3、H29.1 A-4を参考に。
式①を\(\,P_t\,\)について解くと
\[ \begin{eqnarray} E^2&=&\frac{7^2G_tP_t}{d^2} \\ 7^2G_tP_t&=&(Ed)^2 \\ P_t&=&\cfrac{(Ed)^2}{7^2G_t}\cdots\text{②'} \end{eqnarray} \]式②と②'より
\[ \begin{eqnarray} \cfrac{P_r}{P_t}&=&\cfrac{\cfrac{(Eh_e)^2}{4R}}{\cfrac{(Ed)^2}{7^2G_t}} \\ &=&\cfrac{(Eh_e)^2}{4R}\cfrac{7^2G_t}{(Ed)^2} \\ &=&\cfrac{7^2G_th_e^2}{4Rd^2} \\ &=&\cfrac{49G_th_e^2}{4Rd^2}\cdots\text{③} \end{eqnarray} \]式③を\(\,P_r\,\)について解くと
\[ P_r=\cfrac{49G_tP_th_e^2}{4Rd^2}\cdots\text{③}' \]半波長ダイポールアンテナを受信アンテナに用いた場合の受信電力を\(\,P_r'\,[\mathrm{W}]\,\)、実効長を\(\,h_e'\,[\mathrm{m}]\,\)、放射抵抗を\(\,R'\,[\mathrm{\Omega}]\,\)とすると、上式は
\[ P_r'=\cfrac{49G_tP_th_e'^2}{4R'd^2} \]このとき、半波長ダイポールアンテナの放射抵抗\(\,R'\,\)が題意より\(\,73.13\,[\mathrm{\Omega}]\,\)である。また、半波長ダイポールアンテナの実効長\(\,h_e'\,\)は\(\,\lambda/\pi\,[\mathrm{m}]\,\)であるので、上式に代入すると
\[ P_r'=\cfrac{49G_tP_t\left(\frac{\lambda}{\pi}\right)^2}{4\times73.13d^2} \]受信電力\(\,P_r\,\)と受信アンテナの相対利得\(\,G_r\,\)、半波長ダイポールアンテナを受信アンテナに用いた場合の受信電力\(\,P_r'\,\)の関係は\(\,P_r=G_rP_r'\,\)であるので
\[ \cfrac{P_r}{G_r}=\cfrac{49G_tP_t\left(\frac{\lambda}{\pi}\right)^2}{4\times73.13d^2} \]式③\('\)と上式より
\[ \begin{eqnarray} \cfrac{\cfrac{49G_tP_th_e^2}{4Rd^2}}{G_r}&=&\cfrac{49G_tP_t\left(\frac{\lambda}{\pi}\right)^2}{4\times73.13d^2} \\ \cfrac{49G_tP_th_e^2}{4Rd^2}&=&\cfrac{49G_tG_rP_t\left(\frac{\lambda}{\pi}\right)^2}{4\times73.13d^2} \\ h_e^2&=&\cfrac{49G_tG_rP_t\left(\frac{\lambda}{\pi}\right)^2}{4\times73.13d^2}\times\cfrac{4Rd^2}{49G_tP_t} \\ &=&\cfrac{G_r\left(\frac{\lambda}{\pi}\right)^2}{73.13}\times R \\ &=&G_r\left(\cfrac{\lambda}{\pi}\right)^2\cfrac R{73.13} \\ h_e&=&\cfrac{\lambda}{\pi}\sqrt{G_r}\sqrt{\cfrac R{73.13}}\cdots\text{④} \end{eqnarray} \]式④を式③に代入すると
\[ \begin{eqnarray} \cfrac{P_r}{P_t}&=&\cfrac{49G_th_e^2}{4Rd^2} \\ &=&\cfrac{49G_t}{4Rd^2}\times G_r\left(\cfrac{\lambda}{\pi}\right)^2\cfrac R{73.13} \\ &=&\cfrac{49G_tG_r}{4\times73.13d^2}\times\left(\cfrac{\lambda}{\pi}\right)^2 \\ P_r&=&\cfrac{49P_tG_tG_r}{4\times73.13d^2}\times\left(\cfrac{\lambda}{\pi}\right)^2 \\ &=&\cfrac{P_tG_tG_r}{4\times73.13d^2\times\cfrac1{49}\left(\cfrac{\pi}{\lambda}\right)^2} \\ &=&\cfrac{P_tG_tG_r}{\cfrac{4\times73.13}{49}\left(\cfrac{\pi d}{\lambda}\right)^2} \\ &\fallingdotseq&\cfrac{P_tG_tG_r}{6.0\left(\cfrac{\pi d}{\lambda}\right)^2} \\ &=&\cfrac{P_tG_tG_r}{\cfrac{6.0\pi^2d^2}{\lambda^2}}\cdots\text{⑤} \end{eqnarray} \]